2020-01-08
В вертикальном теплоизолированном цилиндрическом сосуде под массивным поршнем находится 1 моль идеального одноатомного газа при температуре $T_{0}$. Начнем сжимать газ, опуская поршень. После того как совершили работу $A$, поршень отпустили, и он остановился в новом положении равновесия. Найти температуру $T_{x}$ в этом состоянии.
Решение:
Работа $A$, совершаемая над системой, идет на изменение внутренней энергии газа $\Delta U$ и потенциальной энергии поршня $\Delta E_{p}$:
$A = \Delta U + \Delta E_{p}$.
Для моля одноатомного идеального газа изменение внутренней энергии дается выражением
$\Delta U = \frac{3}{2} R(T_{x} - T_{0} )$.
Изменение потенциальной энергии поршня можно найти так - оно равно работе, которую нужно было бы совершить, чтобы квазистатически перевести поршень из начального положения в конечное. При этом внешняя сила, совершающая работу, в каждый момент времени должна быть равна силе тяжести $mg$, действующей на поршень. Поскольку поршень в начальном и конечном состояниях находится в равновесии, эта сила тяжести равна по модулю силе давления газа в сосуде $pS$ (давлением наружного воздуха мы пренебрегаем). Обозначив через $\Delta h$ изменение высоты поршня, получим
$\Delta E_{p} = mg \Delta h = pS \Delta h = p \Delta V$,
где $\Delta V$ - изменение объема газа. Воспользовавшись уравнением Менделеева - Клапейрона для 1 моля газа, найдем
$\Delta E_{p} = p \Delta V = R(T_{x} - T_{0} )$.
Таким образом,
$A = \frac{3}{2} R(T_{x} - T_{0}) + R(T_{x} - T_{0}) = \frac{5}{2}R(T_{x} - T_{0})$,
и следовательно,
$T_{x} = T_{0} + \frac{2}{5} \frac{A}{R}$.