2020-01-08
Плосковыпуклая линза сделана из стекла с коэффициентом преломления $n = 1,6$. Радиус сферической поверхности $R = 10 см$, толщина линзы $d = 0,2 см$. На плоскую поверхность параллельно главной оптической оси линзы направляют параллельный пучок и фокусируют его на экране, открыв только небольшую часть линзы около оси ("задиафрагмировав" линзу). После этого диафрагму убрали. Найти диаметр пятна на экране.
Решение:
Пустим на плоскую грань линзы параллельный пучок вдоль главной оптической оси. Рассмотрим преломление произвольного луча из этого пучка и найдем расстояние от центра сферической поверхности до точки, где после преломления этот луч пересечет главную оптическую ось линзы (рис.):
$x = \frac{ R \sin \alpha}{ tg( \beta - \alpha)} = R \sin \alpha \frac{1 + tg \alpha tg \beta}{ tg \beta - tg \alpha}$,
$\sin \beta = n \sin \alpha$,
$L( \alpha) = R \cos \alpha + x = \frac{R}{ \cos \alpha - \sqrt{ \frac{1}{n^{2} } - \sin^{2} \alpha } }$.
Из полученного выражения видно, что $L( \alpha )$ - монотонная функция угла $\alpha$ - при его возрастании расстояние убывает Случай с диафрагмой соответствует совсем малому углу: $L(0) = F = \frac{R}{1- \frac{1}{n}} = 26,7 см$. Максимальный угол $\alpha_{max}$ соответствует падению луча на край линзы. Из простых геометрических соображений $\cos \alpha_{max} = 1 - \frac{d}{R} = 0,98$, и $L( \alpha_{max} ) = 25,8 см$.
Теперь из подобия (рис.) получим
$D_{n} = \frac{D_{n}(L(0) - L( \alpha_{max} ))}{L( \alpha_{max} )} = 2R \sin \alpha_{max} \frac{L(0) - L( \alpha_{max} ) }{L( \alpha_{max} ) } = 0,13 см$.