2020-01-08
Длинная гирлянда составлена из одинаковых лампочек, Подключенных к паре проводов на расстоянии 1 м друг от друга (рис.). Сопротивление 1 м провода составляет 0,2 Ом, лампочек в гирлянде 100. Какой ток потребляет гирлянда от источника напряжением 2,5 В?
Увеличим напряжение источника на 0,1 В. На сколько увеличится мощность, переходящая в тепло в отрезках проводов, которые соединяют источник с первой лампочкой гирлянды? Вольт-амперная характеристика лампочки приведена на рисунке.
Решение:
Широко известны задачи с бесконечными цепями из резисторов, однако в нашем случае все сложнее - ведь чем дальше лампочка от источника, тем меньше она накалена, а значит, и сопротивление ее меньше. Тем не менее, при разумных упрощениях эту задачу можно решить, не выходя за рамки школьной программы.
Во-первых, цепь эту все же можно считать бесконечной (сделайте оценку сами - только учтите уменьшение сопротивления "холодных" ламп). Во-вторых, ясно, что ток гирлянды во много раз больше тока одной лампы при том же напряжении; учтем это и в нужном месте воспользуемся для упрощения уравнений.
Найдем зависимость тока гирлянды $I$ от приложенного к ней напряжения $U$. Для этого добавим еще одно звено между источником и гирляндой, а напряжение источника увеличим на $\Delta U$, чтобы напряжение на гирлянде осталось прежним (рис.). Тогда
$I(U + \Delta U) = I(U) + i(U)$,
где $i(U)$ - ток одной лампы при напряжении $U$. Сопротивление куска провода намного меньше, чем у нагретой лампы, поэтому величина $\Delta U$ мала, и изменение тока можно выразить через производную функции $I(U)$:
$\Delta I = \frac{dI}{dU} \Delta U$.
Но
$\Delta U = r(I(U) + i(U) ) \approx rI(U)$,
поэтому можно записать
$rI(U) \frac{dI}{dU} = i(U)$.
Левая часть этого равенства выражается через производную от квадрата величины $I(U)$:
$rI(U) \frac{dI}{dU} = \frac{d \left ( \frac{rI^{2}(U) }{2} \right ) }{dU}$.
Итак, в левой части записана производная от некоторой функции, а справа - известная функция, график которой нам задан. Значит, эту "некоторую" функцию можно найти как интеграл от $i(U)$. Если график удастся заменить на подходящую функцию, заданную аналитически, то интеграл можно будет посчитать. Но можно обойтись и без этого, тогда придется посчитать площадь под графиком $i(U)$ (см. рис.) от О до интересующего нас значения $U$. Обозначив эту площадь через $S(U)$, можно записать
$I(U) = \sqrt{ \frac{2S(U)}{r}}$.
Для $U = 2,5 В$ и $r = 0,2 Ом$ получим $I = 1,9 А$.
На второй вопрос задачи ответить легче - достаточно заметить, что та "некоторая" функция, которую мы искали (без множителя 1/2). это как раз мощность, выделяющаяся на проводах от источника до гирлянды. Ее производная - это $i(U)$, а значит, ее изменение при небольшом $U$ выражается так:
$P = 2i(U) \Delta U = 0,04 Вт$.