2020-01-08
Для охлаждения потока воздуха в цилиндрической трубе при нормальных условиях, в некотором ее сечении впрыскивают одинаковые капли жидкого азота, которые испаряются вниз по течению. Скорости газа и капель всюду равны между собой (их начальные значения $u_{0} = 10 м/с$), стенки трубы не проводят тепла. Найти значения скорости, плотности и температуры потока после испарения всех капель, если их начальный секундный расход такой же, как и воздуха. Температура кипения жидкого азота при атмосферном давлении 77 К, удельная теплота парообразования $L = 2 \cdot 10^{5} Дж/кг$. Свойства газообразных воздуха и азота считать одинаковыми.
Решение:
Так как через стенки трубы вещество нигде не втекает и не вытекает, в любом поперечном сечении трубы (в том числе на входе и на выходе) масса вещества, пересекающего это сечение в единицу времени (поток массы), должна быть одинаковой.
$( \rho + \rho^{ \prime} ) uS = ( \rho_{0} + \rho_{0}^{ \prime} ) u_{0}S = const$.
Здесь мы уже учли, что газ плотностью $\rho$ и капли жидкости плотностью $\rho^{ \prime}$ движутся с одинаковой общей скоростью; по условию задачи, $\rho_{0}^{ \prime} = \rho_{0}$.
По закону Бернулли (или второму закону Ньютона)
$( \rho - \rho^{ \prime} )uS \Delta u = - \Delta p S$.
Оценим изменение давления $\Delta p$ по трубе. По мере испарения капель плотность газообразной среды будет расти, температура потока падать, скорость уменьшаться (все это будет видно и в конце решения) Поэтому наибольшее изменение скорости составляет $| \Delta u |_{max} = u_{0}$ (при условии полной остановки потока). Из полученных уравнений найдем
$( \rho_{0} + \rho_{0}^{ \prime} ) u_{0} \cdot \Delta u = - \Delta p$,
откуда
$| \Delta p |_{max} = ( \rho_{0} + \rho_{0}^{ \prime} )u_{0}^{2} \approx 200 Па$.
Таким образом, наибольшее возможное изменение давления на три порядка меньше атмосферного давления. Следовательно, можно считать давление постоянным вдоль потока. Тогда и температуру испаряющихся капель тоже можно считать постоянной (точно так же, как постоянна температура кипящего чайника при атмосферном давлении; только для жидкого азота эта температура равна 77 К). Далее, из закона Менделеева - Клапейрона и условия постоянства давления следует, что плотность и температура несущего газа обратно пропорциональны друг другу:
$\frac{ \rho}{ \rho_{0} } = \frac{T_{0} }{T}$.
Каждая единица массы вещества несет и энергию, состоящую из кинетической энергии хаотически движущихся молекул и потенциальной энергии их взаимодействия. Если считать газ, несущий капли, идеальным, то его удельная энергия (энергия единичной массы) равна $c_{p}T$ (для идеального газа энергия взаимодействия его молекул равна нулю; индекс $p$ у теплоемкости указывает на постоянство давления). Эта же энергия для газообразной массы, только что испарившейся с капли температуры $T^{ \prime}$, равна $c_{p}T^{ \prime}$; в конденсированном состоянии (в жидкой капле) она равна $c_{p}T^{ \prime} - L$, где $L$ - удельная теплота испарения, в которую входит удельная потенциальная энергия взаимодействия молекул. Полная энергия вещества, пересекающего любое сечение трубы в единицу времени (поток полной энергии), одинакова:
$c_{p}T \rho u S + ( c_{p} T^{ \prime} - L ) \rho^{ \prime} uS = const$.
Здесь мы пренебрегли кинетической энергией макроскопического движения смеси $( \rho + \rho^{ \prime} ) \frac{u^{2}}{2} uS$, так как она существенно меньше тепловой $(u^{2} \ll c_{p}T, 10^{2} \ll 10^{3} \cdot 300 = 3 \cdot 10^{5}$, где $c_{p} = 10^{3} Дж/(кг \cdot К)$).
Можно еще связать плотность облака капель с их радиусом: $\frac{ \rho^{ \prime}}{ \rho_{0}^{ \prime} } = \left ( \frac{r}{r_{0} } \right )^{3}$. Это позволит выразить все газодинамические параметры как функции от $r/r_{0}$:
$\frac{u}{u_{0} } = \frac{1 - \epsilon_{0}l }{1 - \epsilon_{0}l (r/r_{0} )^{3} }, \frac{ \rho}{ \rho_{0} } = \frac{T_{0} }{T} = \frac{1 + \epsilon_{0} }{1 + \epsilon_{0} (r/r_{0} )^{3} } \frac{u_{0} }{u}$,
где
$l = \frac{L}{ c_{p}T_{0}} - \frac{T_{0}^{ \prime} }{T_{0} }, \epsilon_{0} = \frac{ \rho_{0}^{ \prime} }{ \rho_{0} }$.
Согласно условию, $\epsilon_{0} = 1, l \approx 0,4$. После испарения капель $r/r_{0} = 0$. Отсюда получим окончательно
$\frac{u}{u_{0} } = 1 - l \approx 0,6 \Rightarrow u = 6 м/с$,
$\frac{ \rho}{ \rho_{0} } = \frac{T_{0} }{T} = \frac{2}{1 - l} \approx 3 \Rightarrow \rho \approx 3 кг/м^{3}, T \approx 100 К$.