2020-01-08
Гонки мотоциклистов происходят по узкой круговой трассе. Трогаясь с места, мотоциклист стремится побыстрее набрать скорость. Какую часть круга он пройдет к моменту достижения максимальной скорости?
Решение:
Сразу скажем, что для быстрого разгона нужно как можно лучше использовать силу трения.
Пусть $\alpha$ - угол между скоростью мотоцикла $\vec{v}$ и силой трения о землю $\vec{F}$ в некоторый момент времени (см. рисунок). Запишем уравнения движения мотоцикла в проекциях на направления касательной и нормали к траектории:
$mv^{ \prime} = F \cos \alpha, \frac{mv^{2}}{R} = F \sin \alpha$.
Дифференцируя по времени второе уравнение, с учетом первого получим
$2 \frac{v}{R} = \alpha^{ \prime}$,
или (поскольку $\frac{v}{R} = \omega = \phi^{ \prime}$)
$2 \phi^{ \prime} = \alpha^{ \prime}$.
Отсюда
$2 \phi = \alpha + const$.
При $\phi = 0$ (начальная точка) $\alpha = 0$, поэтому $const = 0$ и
$2 \phi = \alpha$.
В момент достижения максимальной скорости
$\alpha = \frac{ \pi}{2}$ и $\phi = \frac{ \pi}{4}$,
что соответствует 1/8 части окружности.