2020-01-08
На большом расстоянии от Земли находится планета ДВК-1, вокруг которой по круговой орбите вращается спутник БК-0010Ш. На спутнике установлена радиостанция, излучающая сигнал постоянной частоты. На Земле принимают этот сигнал, однако при этом возникают перерывы - 45 минут сигнал есть, потом 45 минут он отсутствует, потом опять 45 минут есть и т.д. Этим дело не ограничивается - частота принимаемого сигнала изменяется относительно среднего значения $f_{0} = 1,5 \cdot 10^{9} Гц$ по закону, показанному на рисунке $(\Delta f = 3 \cdot 10^{4} Гц)$. Считая, что отрезок Земля - планета лежит в плоскости орбиты спутника, найдите массу ДВК-1.
Решение:
Период обращения спутника планеты равен, очевидно,
$T = 2 \cdot 45 мин = 90 мин$.
Половину этого времени спутник закрыт планетой; значит, он летает совсем близко к ее поверхности. Изменение частоты принимаемого сигнала связано с эффектом Доплера:
$\frac{ \Delta f}{f_{0} } = \frac{v}{c}$.
Здесь $v$ - скорость спутника, $c$ - скорость распространения сигнала (скорость света).
С другой стороны, из соотношений механики
$T = \frac{2 \pi R}{v}$ и $\frac{mv^{2} }{R} = G \frac{mM}{R^{2} }$,
где $R$ - радиус, $M$ - масса планеты, $G$ - гравитационная постоянная.
После простых преобразований находим искомую массу планеты:
$M = \left ( c \frac{ \Delta f}{f_{0} } \right )^{3} \frac{T}{2 \pi G} \approx 2,8 \cdot 10^{24} кг$.