2020-01-08
Две цилиндрические катушки с ферритовыми сердечниками помещены недалеко друг от друга и соединены последовательно. Индуктивность одной из них равна 1 мГн, другой - 2 мГн, а измеренная индуктивность катушек, соединенных последовательно, составила 3,6 мГн. Не меняя взаимного положения катушек, их переключают в параллель (см. рисунок). Какую индуктивность мы измерим теперь?
Решение:
Если бы катушки находились далеко друг от друга, их взаимным влиянием можно было бы пренебречь. Тогда магнитный поток определялся бы величиной
$\Phi = L_{1}I + L_{2}I = (L_{1} + L_{2})I$,
т. е. результирующая индуктивность была бы равна сумме индуктивностей катушек. В нашем случае это не так:
$L_{общ} = 3,6 мГн > L_{1} + L_{2}$,
значит, существенную часть полного магнитного потока составляет "взаимный" поток, создаваемый током одной катушки через витки другой. Другими словами,
$\Phi_{общ} = L_{1}I + L_{2}I + MI + MI = (L_{1} + L_{2} + 2M)I$.
Здесь буквой $M$ мы обозначили "взаимную индуктивность" (точнее - коэффициент взаимной индукции) - коэффициент пропорциональности между током в одной катушке и магнитным потоком, пронизывающим витки другой катушки (индуктивность катушки, кстати, раньше называли "коэффициентом самоиндукции"). Собственно, коэффициентов взаимной индукции два: между током первой катушки и потоком во второй и между током второй катушки и потоком в первой. Эти коэффициенты всегда одинаковы. Для катушек, имеющих разное количество одинаковых витков, это равенство легко доказать (попробуйте), в общем случае сделать это довольно трудно - однако сам факт известен хорошо.
Найдем теперь коэффициент взаимной индукции:
$M = \frac{L_{общ} - L_{1} - L_{2}}{2} = 0,3 мГн$.
При переключении концов катушек их взаимное положение не меняется, а значит, и "взаимная индуктивность" остается прежней, хотя вклад взаимных потоков может быть как положительным, так и отрицательным (в зависимости от порядка подключения проводов). При получении ответа мы будем учитывать оба возможных варианта, считая $M = \pm 0,3 мГн$.
Итак, обозначим токи катушек после параллельного включения через $I_{1}$ и $I_{2}$, ЭДС индукции ветвей одинаковы; значит, одинаковы и магнитные потоки:
$\Phi_{1} = L_{1}I_{1} + MI_{2}, \Phi_{2} = L_{2}I_{2} + MI_{1}, \Phi_{1} = \Phi_{2}, I_{1} + I_{2} = I_{общ}$.
Теперь можно выразить любой из потоков через общий ток и коэффициент пропорциональности между ними - это и будет измеренное значение индуктивности:
$\Phi_{1} = L_{1}I_{1} + MI_{2} = I_{общ} \frac{L_{1}L_{2} - M^{2} }{L_{1} + L_{2} - 2M }$.
Выражение во внешних скобках и есть искомая индуктивность. Подставляя $M = 0,3 мГн$, получим $L_{общ1} = 0,8 мГн$; при $M = - 0,3 мГн$ $L_{общ2} = 0,53 мГн$.
Интересное применение обнаруженного эффекта: для подбора индуктивности катушки можно составить ее из двух и плавно регулировать общую индуктивность, меняя в некоторых пределах взаимное расположение катушек (для этого их выводы должны быть достаточно длинными).