2020-01-08
Из стальной упругой тонкой ленты сделаны два обруча разных радиусов. При скольжении по горизонтальному столу обручи испытывают торможение силами вязкого трения, причем силы пропорциональны скоростям обручей и их поперечным размерам. Если толкнуть меньший обруч со скоростью $v_{0}$, он проедет до полной остановки путь $L_{0}$. Толкнем малый обруч так, чтобы он налетел на большой, имея перед ударом скорость $v$. На каком расстоянии друг от друга остановятся обручи?
Решение:
При таком трении длина пройденного обручем пути пропорциональна его начальной скорости. Очень существенно, что обручи сделаны из ленты одинаковой ширины - при этом масса каждого обруча оказывается пропорциональной его диаметру, и ускорения обоих обручей при одинаковых скоростях будут одинаковыми ($a = \frac{F_{тр}}{m}, F_{тр} \sim d, m \sim a$). Это означает, что относительное ускорение обручей определяется лишь их относительной скоростью.
Запишем законы сохранения импульса н энергии для абсолютно упругого удара обручей:
$m \vec{v} = m \vec{v}_{1} + M \vec{v}_{2}$,
$\frac{mv^{2} }{2} = \frac{mv_{1}^{2} }{2} + \frac{Mv_{2}^{2} }{2}$.
Сделаем некоторые преобразования:
$m( \vec{v} - \vec{v}_{1} ) = M \vec{v}_{2}$, (1)
$m (v^{2} - v_{1}^{2}) = Mv_{2}^{2}$ (2)
Заметим, что
$( \vec{v} - \vec{v}_{1})( \vec{v} + \vec{v}_{1} ) = v^{2}- v_{1}^{2}$
и
$\vec{v}_{2} \vec{v}_{2} = v_{2}^{2}$.
Тогда соотношение (2) можно записать иначе:
$m ( \vec{v} - \vec{v}_{1} )( \vec{v} + \vec{v}_{1} ) = M \vec{v}_{2} \vec{v}_{2}$.
Теперь совершим замену из уравнения (1) и получим
$\vec{v} + \vec{v}_{1} = \vec{v}_{2}$, или $\vec{v}_{2} - \vec{v}_{1} = \vec{v}$,
т. е. относительная скорость обручей после абсолютно упругого удара (даже нецентрального!) не меняется.
Таким образом, очевидно, что расстояние, на котором остановятся друг от друга обручи (а оно в данном случае зависит только от их относительной скорости), будет равно
$L = L_{0} \frac{v}{v_{0} }$.