2020-01-08
Нелинейность вольт-амперной характеристики лампы накаливания связана с тем, что сопротивление нити увеличивается с ее нагревом. Получите зависимость тока через лампу от приложенного к ней напряжения при следующих упрощающих предположениях: теплоотдачу считать связанной с излучением ($P_{изл} \sim T^{4}$, где $T$ - температура нити); сопротивление нити $R \sim T$. Лампа 60 Вт, 220 В.
Снизим напряжение до 200 В. Какой будет мощность лампы? Сильно ли упадет световой поток?
Решение:
Зависимость между напряжением и током легко получить, комбинируя выражения для мощности лампы и для сопротивления ее нити:
$P = UI = AT^{4}$,
$R = \frac{U}{I} = BT$,
где $A$ и $B$ - некоторые постоянные величины. Исключая из уравнений $T$, получим
$I = \left ( \frac{A}{B^{4}} \right )^{0,2} U^{0,6}$.
Представим это выражение в более удобном виде, учитывая заданные в условии величины - при напряжении $U_{0} = 220 В$ мощность лампы равна $P_{0} = 60 Вт$:
$I_{0} = \frac{P_{0} }{U_{0} } = 0,27 А$,
и
$I= I_{0} \left ( \frac{U}{U_{0}} \right )^{0,6} = 0,27 \left ( \frac{U}{220} \right )^{0,6}$.
Если снизить напряжение до $U_{1} = 200 В$, то по этой формуле можно найти ток: $I_{1} = 0,94I_{0}$. Напряжение $U_{1}$ составляет примерно $0,9U_{0}$, значит, мощность упадет до
$P_{1} = U_{1}I_{1} \approx 0,85P_{0} \approx 50 Вт$.
Однако световой поток упадет при этом существенно больше, чем на 15%, поскольку при уменьшении температуры нити максимум излучения смещается в область длин волн, для которых чувствительность глаза меньше.
Насколько разумна модель, предложенная для расчета? При небольших температурах излучение уже не составляет большей части, отдаваемой нитью мощности - более существенной становится теплопроводность. Поэтому полученную формулу следует применять только в области высоких температур, т. е. при напряжениях, не очень отличающихся от $U_{0} = 220 В$.