2020-01-08
В горизонтальном дне цилиндрического сосуда сделано круглое отверстие диаметром $d = 10 см$ для слива воды. Если отверстие открыть, то не вся вода выльется, часть ее останется на дне. Оцените массу этой оставшейся воды, если дно сосуда плохо смачивается водой. Диаметр сосуда $D = 50 см$. Коэффициент поверхностного натяжения воды $\sigma = 0,07 Н/м$.
Решение:
Ограничимся случаем, когда толщина $H$ слоя оставшейся воды много меньше диаметра отверстия $d$.
Проведем две вертикальные плоскости, проходящие через ось симметрии отверстия и образующие между собой некоторый угол $\phi$, и рассмотрим часть воды, которая заключена между этими плоскостями и произвольно проведенной вертикальной цилиндрической поверхностью (рис.; вид сверху). Радиус $R$ этой поверхности выберем таким, чтобы расстояние $R - d/2$ было много больше $H$ (но, разумеется, меньше $D/2$); тогда на этих расстояниях поверхность воды с хорошей точностью можно считать горизонтальной.
Условие равновесия этой части воды означает равенство нулю суммы всех действующих на воду сил, а значит, и суммы проекций этих сил на ось X. Что же это за силы?
На боковую цилиндрическую поверхность действуют силы поверхностного натяжения (красные стрелки на рисунке) и силы гидростатического давления (черные стрелки). Их проекции равны соответственно
$2 \sigma R \sin \frac{ \phi}{2}$ и $- \rho g H^{2}R \sin \frac{ \phi}{2}$.
Аналогичные силы действуют и на радиальные боковые поверхности. Вклад от них есть
$-2 \sigma \left ( R - \frac{d}{2} \right ) \sin \frac{ \phi}{2}$ и $\rho gH^{2} \left ( R - \frac{d}{2} \right ) \sin \frac{ \phi}{2}$.
Здесь мы пренебрегли изменением толщины слоя воды вблизи отверстия в дне сосуда (этот участок имеет длину порядка $H$, а в нашем случае $H \ll R - \frac{d}{2}$). Нам осталось рассмотреть силы поверхностного натяжения, действующие на нашу воду в месте касания воды и дна сосуда (около отверстия). На рисунке показан случай плохого смачивания жидкостью дна сосуда, когда угол $\theta$ между касательной к поверхности жидкости и горизонтальной поверхностью дна (краевой угол) больше $\pi /2$. Результирующая проекция сил поверхностного натяжения, действующих в месте касания (красная наклонная стрелка на рисунке), равна
$- \sigma d \sin \frac{ \phi}{2} \cos \theta$.
Итак, условие равновесия имеет вид
$ 2 \sigma R \sin \frac{ \phi}{2} - \rho g H^{2} R \sin \frac{ \phi}{2} - 2 \sigma \left ( R - \frac{d}{2} \right ) \sin \frac{ \phi}{2} + \rho gH^{2} \left ( R - \frac{d}{2} \right ) \sin \frac{ \phi}{2} - \sigma d \sin \frac{ \phi}{2} \cos \theta = 0$.
Отсюда получаем высоту оставшегося слоя воды:
$H = \sqrt{ \frac{2 \sigma (1 - \cos \theta ) }{ \rho g}}$.
Проведем верхнюю оценку массы оставшейся воды. Максимальная глубина $H_{max}$ будет при полном несмачивании ($\theta = 180^{ \circ}$): $H_{max} = 2 \sqrt{ \frac{ \sigma}{ \rho g} } \approx 5,3 мм$. В этом случае максимальная масса воды будет равна
$m_{max} = \rho \frac{ \pi (D^{2} - d^{2} ) }{4} H_{max} \approx 1 кг$.
При полном несмачивании оценку толщины слоя оставшейся жидкости можно получить и другим способом - из условия равенства избыточного давления под выпуклой поверхностью (обусловленного поверхностным натяжением) гидростатическому давлению на глубине $H_{max}/2$:
$\frac{2 \sigma}{H_{max} } = \rho g \frac{H_{max} }{2}$.
Найденное отсюда значение $H_{max} = 2 \sqrt{ \frac{ \sigma}{ \rho g} }$ полностью совпадает с расчетным значением, полученным первый способом. (Это означает, кстати сказать, что приближения, положенные в основу обоих способов расчета, равнозначны.)