2020-01-08
В прошлом веке русский ученый В. И. Срезневский исследовал испарение капель жидкости в воздухе. Пусть это испарение происходит при постоянной разности температур за счет подвода тепла к капле от окружающей среды. Считая поток тепла на единицу поверхности шаровой капли пропорциональным разности температур и обратно пропорциональным радиусу капли, найти зависимость радиуса капли от времени. За какое время окончательно испарится капля, радиус которой уменьшился в два раза за 10 минут?
Решение:
Согласно условию задачи, за малое время $\Delta t$ к поверхности шаровой капли площадью $4 \pi r^{2}$ подводится количество теплоты
$\Delta Q = \frac{ \alpha (T_{в} - T_{н} ) }{r } 4 \pi r^{2} \Delta t$.
Здесь $r$ - радиус капли, $\alpha$ - постоянный коэффициент, зависящий от теплопроводности окружающей среды, $T_{в}$ и $T_{к}$ - температуры - воздуха и капли ($T_{в} > T_{к}$). Это тепло затрачиваемся на испарение некоторой массы жидкости $\Delta m$. Если обозначить $L$ удельную теплоту испарения жидкости, то можно записать закон сохранения энергии в виде
$L \Delta m = - \Delta Q = - \alpha (T_{в} - T_{к}) 4 \pi r \Delta t$
(знак минус в правой части указывает на то, что с течением времени масса жидкости убывает).
Но $m = \frac{4}{З} \pi r^{3} \rho_{0}$, где $\rho_{0}$ - плотность вещества капли; поэтому
$\Delta m = 4 \pi r^{2} \rho_{0} \Delta r$.
Подставив последнее соотношение в уравнение для энергии, получим
$r \Delta r = - \frac{ \alpha (T_{в} - T_{к} ) }{L \rho_{0} } \Delta t$,
или
$(r^{2} )^{ \prime} = - \beta$,
где $\beta = 2\alpha \frac{T_{в} - T_{к}}{L \rho_{0}}$ - положительная постоянная.
Отсюда видно, что квадрат радиуса капли линейно убывает со временем:
$r^{2} = r_{0}^{2} - \beta t$,
где $r_{0}$ - значение радиуса в начальный момент времени $t = 0$, а сам радиус убывает по закону (см. рисунок)
$r = \sqrt{r_{0}^{2} - \beta t }$.
По условию, за время $\tau = 10 мин = 600 с$ радиус капли уменьшился вдвое, т. е. стал $r_{0}/2$, так что
$\frac{r_{0}^{2} }{4} = r_{0}^{2} - \beta \tau$,
$\beta = \frac{3}{4} \frac{r_{0}^{2} }{ \tau}$.
Обозначим время полного испарения через $\tau_{исп}$. Оно находится из условия
$r = 0$ при $t = \tau_{исп}$,
откуда
$\tau_{исп} = \frac{r_{0}^{2} }{ \beta} = \frac{4}{3} \tau = 800 с$.