2020-01-08
Небольшой баллончик с остатками неона для пополнения подсоединяют на короткое время к большому резервуару, где давление $p$ в два раза выше, чем в баллончике, Баллончик отсоединяют сразу после его заполнения. Каким будет окончательное давление газа в баллончике? Теплообменом газа со стенками баллончика при его заполнении пренебречь.
Решение:
Сначала в баллончике находится газ под давлением $p/2$ при температуре $T$:
$\frac{p}{2} V = \nu RT$,
где $V$ - объем баллончика, $\nu$ - количество газа. После подсоединения из большого резервуара в баллончик перейдет порция газа $\nu_{1}$, которая доведет давление внутри баллончика до значения $p$ при первоначально установившейся температуре $T_{x}$:
$pV = ( \nu +\nu_{1} )RT_{x}$.
Для расчета примем, что "наружный" газ совершил над вошедшей порцией газа некоторую работу при постоянном давлении $p$, и за счет этой работы увеличилась внутренняя энергия газа в баллончике. Это позволит нам записать соотношение, в которое войдут полное количество газа в баллончике и установившаяся температура.
Через некоторое время температура внутри баллончика уравняется с температурой в резервуаре, а давление $p_{x}$ установится окончательно - оно упадет по отношению к $p$ во столько же раз, во сколько упадет температура газа:
$\frac{p_{ \tau} }{p} = \frac{T}{T_[x }$.
Теперь проведем расчеты.
Выделим (см. рисунок) тот объем $V_{н}$ "наружного" газа, который затем окажется внутри баллончика, и запишем выражение для работы:
$A = pV_{н}$.
Объем $V_{н}$ выразим из уравнения состояния газа:
$V_{н} = \frac{ \nu_{1} RT }{p}$.
Поскольку неон - одноатомный газ, изменение внутренней энергии газа, оказавшегося в баллончике, можно записать в виде
$\Delta U = \frac{3}{2} 4( \nu + \nu_{1} ) RT_{x} - \frac{3}{2} ( \nu + \nu_{1} )RT$.
Из закона сохранения энергии
$A = \Delta U$,
учитывая уравнения состояния газа, получим
$T_{x} = \frac{5}{4}T$.
Тогда окончательно
$p_{x} = \frac{p \tau}{T_{x}} = 0,8p$.