2020-01-08
Погремушка в виде полого стального шара объемом 0,2 л содержит внутри 300 стальных шариков радиусом 1 мм. Ее трясут так, что шарики внутри непрерывно сталкиваются между собой и со стенками, издавая ужасный шум. Считая скорость погремушки равной 1 м/с, оцените число соударений между шариками за 1 минуту. Излучаемая звуковая мощность равна 10 Вт, выделением тепла при ударах пренебречь.
Решение:
Заметим, что 10 ватт - это очень большая мощность (обычные громкоговорители имеют КПД порядка долей процента и при подводимой к ним мощности, скажем, 100 ватт излучают мощность намного меньше 1 ватта), так что трясти придется очень энергично. Сделаем оценку минимальной частоты, с которой нужно трясти погремушку.
Пусть за время $\tau$ движения погремушки в одну сторону внутри все успевает установиться, и центр масс шариков получает скорость $v_{0}$. Тогда среднюю силу $F_{ср}$ можно оценить из соотношения для импульсов - за время $\tau$ импульс всех шариков изменится на $2Nmv_{0}$:
$F_{ср} \tau = 2N mv_{0}, F_{ср} = \frac{2Nmv_{0}}{ \tau}$.
Мощность этой силы должна быть равна $P = 10 Вт$:
$F_{ср}v_{0} = P, \tau = \frac{2Nmv_{0}^{2}}{P}$.
Массу шарика найдем, зная его радиус $r$ и плотность $\rho$:
$m = \frac{4 \pi \rho r^{3} }{3}$.
Тогда
$\tau = 0,002 с$.
Ясно, что "голыми руками" так трясти не получится - нужно применить какое-нибудь механическое устройство (на самом деле мы дали оценку времени $\tau$ сверху - движение не обязательно успевает установиться).
Обсудим теперь физическую модель явления. Подкачка энергии в систему происходит за счет внешних сил - средняя энергия шариков, ударяющихся о подвижную стенку, меняется, а скорость корпуса остается по условию постоянной. Из этих соображений можно посчитать работу внешних сил (учитывая изменение энергии шариков и число ударов о каждую из сторон корпуса - набегающую и убегающую).
Будем считать, что в установившемся режиме средняя квадратичная скорость шариков остается практически неизменной, существенно превышая по модулю скорость корпуса, а скорость центра масс шариков практически равна нулю. Эти предположения мы в конце должны будем проверить.
Ясно, что, ударившись о набегающую стенку, шарик увеличит свою энергию, а после удара об убегающую - уменьшит ее. Движение корпуса происходит вдоль одной оси - изменяется при ударе только эта составляющая скорости. Поэтому вместо сферы можно взять цилиндр такого же поперечного сечения $S$, движущийся вдоль своей оси, и учесть удары шариков о его торцы. Для теряющего энергию шарика
$\Delta E_{1} = \frac{mu_{x}^{2}}{2} - m \frac{( u_{x} - 2v_{0})^{2}}{2}$,
для получающего
$\Delta E_{2} = m \frac{(u_{x} + 2v_{0} )^{2}}{2} - \frac{mu_{x}^{2} }{2}$,
где $u_{x}$ - проекция скорости шарика на ось цилиндра. Расчет числа ударов о торец проведем стандартным способом:
$N_{1} = \frac{nS(u_{x} - v_{0} ) \Delta t }{2}, N_{2} = \frac{nS (u_{x} + v_{0} ) \Delta t }{2}$
где $n$ - "концентрация" шариков в сосуде.
В установившемся случае средняя энергия системы остается постоянной; значит, изменение энергии шариков за единицу времени и есть мощность $P$. Рассчитаем скорости шариков из этого соотношения;
$P \Delta t = \Delta E_{2}N_{2} - \Delta E_{1}N_{1} = 4nSmv_{0}^{2}u_{x}$,
$u_{x} = \frac{P}{4nmSv_{0}^{2} } \approx 30 м/с$.
Это - одна компонента скорости, а средняя квадратичная скорость шарика
$u = u_{x} \sqrt{3} \approx 50 м/с$.
Она и в самом деле существенно превышает скорость корпуса. А предположение о том, что скорости шариков не успевают стать в среднем равными скорости корпуса, должно проверяться иначе. Поскольку для такого установления требуется достаточно много ударов между шариками, нужно найти длину свободного пробега и время между ударами. Собственно, это и требуется в задаче.
Длина свободного пробега
$\lambda = \frac{V}{4 \pi r^{2} N} \approx 5 см$.
За время пролета этого расстояния каждый шарик в среднем испытывает одно соударение; значит, всего за это время произойдет $N^{2}/2$ ударов (в каждом ударе участвуют два шарика). Окончательно число ударов за время $\tau = 1 мин$ равно
$N_{общ} = \frac{2 \pi r^{2}N^{2}u \tau }{V} \approx 10^{7}$.