2020-01-08
Цилиндр массой $M$ находится между подвижной горизонтальной поверхностью и закрепленной под углом $\alpha$ наклонной плоскостью (рис.). Коэффициент трения цилиндра о горизонтальную поверхность $\mu_{1}$, о наклонную - $\mu_{2}$. Горизонтальную поверхность равномерно двигают влево. Какую минимальную силу приходится для этого прикладывать
Решение:
Очевидно, что у цилиндра есть две возможности: вращаться или не вращаться. Предположим первое. Тогда при равномерном движении горизонтальной поверхности влево цилиндр будет вращаться с постоянной угловой скоростью. Следовательно, сумма моментов действующих на цилиндр сил относительно его центре равна нулю; поэтому (см рис.) $F_{тр1} = F_{тр2}$. Кроме того ускорение центра масс цилиндра и, следовательно, век торная сумма действующих на него сил тоже равны нулю. Проектируя на горизонтальную ось, получаем
$N_{2} \sin \alpha - F_{тр2} \cos \alpha - F_{тр1} = 0$. (1)
Проекция на вертикальную ось дает
$N_{1} - Mg - N_{2} \cos \alpha - F_{тр2} \sin \alpha = 0$. (2)
Обозначим $F_{тр1} = F_{тр2} = F$. Тогда из равенства (1) на ходим
$F = N_{2} \frac{ \sin \alpha}{1 + \cos \alpha}$, (3)
а из равенства (2) получаем
$N_{1} - Mg - N_{2} \cos \alpha - N_{2} \frac{ \sin^{2} \alpha }{1 + \cos \alpha} = 0$,
или
$N_{1} = Mg + N_{2}$. (4)
В зависимости от соотношения между $\mu_{1}, \mu_{2}$ и $\alpha$ возможны два случая.
Случай 1. Пусть $\mu_{1}N_{1} > \mu_{2}N_{2}$. При этом цилиндр вращается, и $F = \mu_{2}N_{2}$. Тогда из равенства (3) следует, чтобы
$N_{2} \frac{ \sin \alpha}{1 + \cos \alpha } = \mu_{2}N_{2}$.
Возникают две возможности:
а) $\frac{ \sin \alpha}{1 + \cos \alpha } > \mu_{2}$; при этом $N_{2} = 0$ и $F = 0$. Условие $\mu_{1} N_{1} > \mu_{2} N_{2}$ соблюдается для любых $\mu_{1}$ и $\mu_{2}$.
б) $\frac{ \sin \alpha}{1 + \cos \alpha } < \mu_{2}$; при этом происходит заклинивание цилиндра. Условие $\mu_{1}N_{1} > \mu_{2}N_{2}$ соблюдается, если $\mu_{1} > \mu_{2}$.
Случай 2. Пусть $\mu_{1}N_{1} < \mu_{2}N_{2}$. Тогда цилиндр не вращается, и $F = \mu_{1} N_{1}$. Из равенств (3), (4) получаем
$\mu_{1}N_{1} = N_{2} \frac{ \sin \alpha}{1 + \cos \alpha }$, или $\mu_{1} (Mg + N_{2} ) = N_{2} \frac{ \sin \alpha}{1 + \cos \alpha }$,
откуда
$N_{2} = \frac{ \mu_{1}Mg }{ \frac{ \sin \alpha }{1 + \cos \alpha} - \mu_{1} }$.
Снова возникают две возможности:
a) $\mu_{1} \geq \frac{ \sin \alpha}{1 + \cos \alpha}$; при этом происходит заклинивание. Условие $\mu_{1}N_{1} < \mu_{2}N_{2}$ соблюдается, если $\mu_{1} < \mu_{2}$.
б) $\mu_{1} < \frac{ \sin \alpha}{1 + \cos \alpha}$; тогда
$F = \mu_{1}N_{1} = \mu_{1} (N_{2} + mg ) = \frac{ \mu_{1}Mg }{1 - \mu_{1} \frac{1 + \cos \alpha }{ \sin \alpha} }$.
Условие $\mu_{1} N_{1} < \mu_{2} N_{2}$ выполняется, когда
$\mu_{1} (Mg + N_{2} ) < \mu_{2} N_{2}$, или $\mu_{2} > \frac{ \sin \alpha}{1 + \cos \alpha}$.
Представим окончательный ответ графически.
Изобразим плоскость ($\mu_{1} , \mu_{2}$ ) и разделим ее на три области (рис.). В области 1 (случай 1, а) искомая сила
$F = 0$.
В области 2 (случаи 1,б и 2,а) происходит заклинивание, и
$F \rightarrow \infty$.
В области 3 (случай 2,б)
$F = \frac{ \mu_{1}Mg }{1 - \mu_{1} \frac{1 + \cos \alpha}{ \sin \alpha} }$.