2020-01-08
В последнее время широкое распространение получила новая конструкция контактных линз. (Контактные линзы используются для коррекции зрения вместо очков. Оки представляют собой очень тонкие пластинки, одеваемые непосредственно на глазное яблоко.) Фокусировка света такой линзой основана на его волновой природе. Для этого вокруг центральной круговой прозрачной области линзы наносятся концентрические кольца с чередующейся прозрачностью (непрозрачное - прозрачное - и т. д.).
а) Определить диаметр центральной прозрачной области.
б) Определить диаметры двух ближайших к центру линзы прозрачных колец при условии, что фокусное расстояние линзы равно $F = 25 см$.
в) Зная, что контактная линза дает четкое изображение не только удаленных предметов (в фока ль ной плоскости), но также и точечного объекта, расположенного на конечном расстоянии от линзы, найти это расстояние.
Считать для определенности, что длина световой волны равна $\lambda = 500 нм$, что линза плоская, очень тонкая, а кольца очень узкие.
Решение:
Такого рода линзы, выполненные, например, в виде прозрачной пластинки с нанесенными на нее черными кольцами, используются уже давно. Их называют зонными пластинками. Если направить на такую пластинку параллельный пучок света (на волновом языке - плоскую волну), то он окажется сфокусированным - поместим экран на нужном расстоянии от пластинки, и на экране получим ярко освещенную точку. Поясним сказанное.
Возьмем прозрачную пластинку, поставим на расстоянии $F$ от нее экран, выбрав на нем точку - будущий фокус нашей линзы, и найдем расположение непрозрачных колец, дающих нужный нам эффект фокусировки света.
Так как расстояния от нашего фокуса до различных участков пластинки не одинаковы, колебания от них будут приходить в различных фазах. Волны, идущие от одних участков, будут усиливать волну, распространяющуюся от ближайшей к фокусу точки пластинки, от других - ослаблять эту волну. Понятно, что усиление, т. е. фокусировка, света будет происходить в том случае, если волны приходят в одинаковых фазах, а ослабление - если в противоположных фазах. (Заметим, что обычная линза ведет себя точно так же - -волны от разных участков линзы приходят в ее фикус в одинаковых фазах и усиливают друг друга. А в других точках происходит соответствующее ослабление света.) Теперь нам остается найти расположение не нужных нам участков и сделать их непрозрачными, а остальные участки - оставить прозрачными.
Разность хода лучей, идущих от центра пластинки и от точки на расстоянии $x$ от оси, равна (рис.)
$l = \sqrt{F^{2} + x^{2}} - F$.
При $x \ll F$ можно упростить:
$l = F \sqrt{ 1 + \frac{x^{2} }{F^{2} } } - F = \frac{x^{2} }{2F}$.
Непрозрачными должны быть места, для которых разность хода (см. рис.)
$\left ( \frac{ \lambda}{4} + n \lambda \right ) < l < \left ( \frac{3 \lambda}{4} + n \lambda \right )$,
или
$\sqrt{ \frac{ \lambda F (1 + 4n) }{2} } < x_{n} < \sqrt{ \frac{ \lambda F(3 + 4n) }{2} }$.
Первое кольцо ($n = 0$) имеет внутренний радиус $r_{0} = \sqrt{ \frac{ \lambda F}{2} } = 0,25 мм$, наружный $r_{0}^{ \prime} = \sqrt{ \frac{3 \lambda F}{2} } = 0,43 мм$, второе - 0,56 мм и 0,66 мм и т. д.
Итак, а) диаметр центральной прозрачной области равен
$sd_{0} = 2r_{0} = 2 \sqrt{ \frac{ \lambda F}{2} } = 0,5 мм$;
б) наружные диаметры двух ближайших к центру прозрачных колец равны соответственно
$d_{1} = 2 \sqrt{ \frac{5 \lambda F}{2} } = 1,1 мм$,
$d_{2} = 2 \sqrt{ \frac{9 \lambda F}{2} } = 1,6 мм$.
Теперь пункт в). Сходство с обычной линзой не исчерпывается тем, что зонная пластинка фокусирует параллельный пучок лучей. Рассмотрим точечный источник света, находящийся на оси пластинки на расстоянии $a$ от нее. Поставим экран на расстоянии $b$ с другой стороны пластинки и посмотрим, при каком $b$ разность хода соответствующих лучей удовлетворяет такому же условию, как и для параллельного пучка:
$l = ( \sqrt{a^{2} + x^{2} } + \sqrt{b^{2} + x^{2} } ) - (a + b) = a \left ( 1 + \frac{x^{2} }{2a^{2} } \right )+ b \left ( 1 + \frac{x^{2} }{2b^{2} } \right ) - a - b = x^{2} \left ( \frac{1}{2a} + \frac{1}{2b} \right ) = \frac{x^{2} }{2F}$.
Отсюда получаем
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{F}$.
Таким образом, если поставить экран на расстоянии $b$, определяемом полученной формулой, то пучок будет сфокусирован. Но эта формула - известная формула обычной тонкой линзы. Теперь по заданным свойствам глаза можно определить точку, изображение которой получится на глазном дне.