2020-01-08
Плоский заряженный конденсатор внесли в область однородного электрического поля, напряженность которого направлена так, как показано на рисунке. Для этого необходимо было совершить работу $A_{1}$. Затем конденсатор повернули на угол а$\alpha$, совершив при этом работу $A_{2}$. Полагая заданным значение угла $\alpha$, определить отношение работ $A_{2}/A_{1}$. Считать, что все собственное поле конденсатора однородно и сосредоточено внутри его объема.
Решение:
Обозначим через $W_{0}$ энергию внешнего однородного поля в отсутствие конденсатора, а через $W_{к} = \frac{ \epsilon_{0}E_{к}^{2}V }{2}$ - собственную энергию заряженного конденсатора (здесь $E_{к}$ - напряженность поля, созданного зарядами на обкладках конденсатора, $V$ - объем конденсатора).
До внесения конденсатора во внешнее поле полная энергия системы была
$W = W_{0} + W_{к}$.
После внесения конденсатора (в положение, изображенное на рисунке) энергия системы стала
$W_{1} = \left ( W_{0} - \frac{ \epsilon_{0} E_{0}^{2} V}{2} \right ) + \frac{ \epsilon_{0} (E_{0} + E_{к})^{2}V}{2}$,
где $\vec{E}_{0}$ - напряженность внешнего поля. Совершенная при этом работа $A_{1}$ равна изменению энергии системы:
$A_{1} = W_{1} - W = \epsilon_{0}E_{0}E_{к}V$.
В результате поворота конденсатора на угол $\alpha$ энергия системы изменится до величины
$W_{2} = \left ( W_{0} - \frac{ \epsilon_{0}E_{0}^{2}V }{2} \right ) + \frac{ \epsilon_{0} | \vec{E}_{0} + \vec{E}_{к} |^{2}V }{2} = \left ( W_{0} - \frac{ \epsilon_{0} E_{0}^{2}V }{2} \right ) + \frac{ \epsilon_{0} E_{0}^{2}V }{2} + \frac{ \epsilon_{0} E_{к}^{2}V }{2} + \epsilon_{0}E_{0}E_{к}V \cos \alpha$,
а совершенная при этом работа $A_{2}$ будет равна
$A_{2} = W_{2} - W_{1} = \epsilon_{0}E_{0}E_{к} V( \cos \alpha - 1)$.
Искомое отношение работ
$\frac{A_{2} }{A_{1} } = \frac{ \epsilon_{0}E_{0}E_{к}V ( \cos \alpha - 1) }{ \epsilon_{0}E_{0}E_{к}V } = \cos \alpha - 1$.
Приведенное решение является приближенным: мы пренебрегаем перераспределением зарядов на пластинах конденсатора при его повороте на угол $\alpha$.