2020-01-08
Однородная нерастяжимая веревка подвешена за концы в точках А и В, находящихся на разной высоте (рис.). Натяжение веревки в точке А равно $T_{A}$. Найти натяжение веревки в точке В, если она находится на $h$ выше точки А. Масса веревки $m$, длина $l$.
Решение:
Приведем два решения этой задачи.
1) Представим, что у нас есть некоторый запас веревки в точке А. Выпустим веревку на малую длину $\Delta l$ в точке А и выберем ту же длину $\Delta l$ в точке В. Очевидно, что при этом будет совершена работа, равная $(T_{B} - T_{A}) \Delta l$, где $T_{B}$ и $T_{A}$ - силы натяжения веревки в точках В и А соответственно. Эта работа затрачивается на изменение потенциальной энергии участка веревки массой $m \Delta l/l$ при подъеме на высоту $h$. Согласно закону сохранения энергии,
$mg \frac{ \Delta l}{l} h = (T_{B} - T_{A}) \Delta l$,
откуда получаем
$T_{B} = T_{A} + \frac{mgh}{l}$.
2) Соединим точки А и В гладкой наклонной плоскостью длиной $L$ и замкнем веревку по этой плоскости (рис.). Понятно, что вся веревка должна находиться в равновесии. Участок веревки, лежащий на плоскости, поддерживается в равновесии разностью натяжений веревки в точках В и А:
$T_{B} - T_{A} = \frac{mL}{l} g \frac{g}{L}$,
и
$T_{B} = T_{A} + \frac{mgh}{l}$.