2020-01-08
Из опыта известно, что скорость волн на поверхности океана, длина которых $\lambda = 10 м$, равна $v = 4 м/с$. Предположим, что в океане на большой глубине есть граница раздела, выше которой находится менее соленая вода, а ниже - более соленая, так что разность плотностей воды $\Delta \rho = 1 кг/м^{3}$. По этой границе могут бежать волны (так называемые внутренние волны). Найти скорость таких волн с длиной $\lambda = 10 м$. Амплитуду волн считать малой.
Решение:
Движение жидкости и в поверхностных, и во внутренних волнах вызывается гравитационными силами. Эти силы, естественно, пропорциональны разности плотностей на границе раздела, т. е. $\Delta \rho$ для внутренних волн и $\rho$ для поверхностных ($\rho = 10^{3} кг/м^{3}$ - плотность воды в верхних слоях океана). Кроме того, в случае внутренних волн в движение-приводится вдвое большая масса воды, поскольку движется вода, находящаяся по обе стороны от границы раздела. Тогда для ускорений одинаково расположенных частиц жидкости в обеих волнах получаем
$\frac{a_{пов}}{a_{вн} } = \frac{ \frac{F_{пов} }{m_{пов} } }{ \frac{F_{вн} }{m_{вн} } } = \frac{2 \rho}{ \Delta \rho} \approx 2000$.
С другой стороны, если движение в поверхностной волне происходит, например, в $k$ раз быстрее, то все скорости в ней будут в $k$ раз больше, а любое изменение движения займет в $k$ раз меньше времени. Это означает, что ускорение, которое является отношением изменения скорости ко времени этого изменения, будет больше в $k^{2}$ раз. Отсюда
$k = \sqrt{ \frac{a_{пов} }{a_{вн} } } = \sqrt{ \frac{2 \rho}{ \Delta \rho} }$.
Окончательно
$v_{вн} = \frac{v_{пов} }{k} = v. \sqrt{ \frac{ \Delta \rho}{ 2 \rho} } \approx 0,09 м/с$.