2020-01-08
Вертикальная труба высотой $H = 1 м$ и площадью поперечного сечения $S = 50 см^{2}$ открыта с двух концов. В нижней части трубы установлен нагреватель мощностью $N = 100 Вт$. Какая скорость восходящего потока установится в трубе? Считайте, что нагреватель не загораживает поперечное сечение трубы. Атмосферное давление $p_{0} = 1 атм$, температура снаружи комнатная. Молярная теплоемкость воздуха при неизменном объеме $C_{V} =2,5 R$, где $R$ - универсальная газовая постоянная.
Решение:
Очевидно, что нагрев приводит к уменьшению плотности воздуха, и архимедова сила, действующая на горячий воздух, поднимает его вверх, т.е. возникает восходящий поток воздуха в трубе.
Разобьем задачу на две части.
1) Пусть плотность воздуха в трубе $\rho$, плотность окружающего воздуха $\rho_{0}$ ( $\rho < rho_{0}$). Какова будет скорость равномерного движения воздуха в трубе?
Обозначим давление вблизи верхнего конца трубы (см. рисунок) $p_{0}$. Тогда вблизи нижнего конца внутри трубы давление будет $p_{0} + \rho gH$, а снаружи $p_{0} + \rho_{с} gH > p_{0} + \rho gH$. Получается, что вблизи нижнего отверстия трубы воздух, имеющий нулевую скорость, засасывается в трубу, где его давление падает, а скорость увеличивается до некоторого значения $v$. Найдем его, воспользовавшись уравнением Бернулли:
$\rho \frac{v^{2} }{2} + p = const$, или $\frac{ \rho v^{2} }{2} + p_{0} + \rho gH = p_{0} + \rho_{0} gH$,
откуда получаем
$v = \sqrt{2 \frac{ \rho_{0} - \rho }{ \rho} gH }$.
2) Зная мощность нагревателя $N$, найдем отношение $\frac{ \rho_{0} - \rho}{ \rho}$.
Мимо нагревателя проходит поток воздуха $\rho vS$ (масса в единицу времени) или $\frac{ \rho}{M} vS$ (количество вещества в единицу времени) Нагрев происходит при постоянном давлении, поэтому
$N = \frac{ \rho}{M} vS C_{p} \Delta T$,
где $C_{p} = C_{V} + R = \frac{7}{2} R$, а $\Delta T$ равно разности температур внутри трубы (после нагревателя) и снаружи. При постоянном давлении и при $\frac{ \Delta T}{T} \ll 1$
$\frac{ \rho_{0} - \rho }{ \rho} = - \frac{ \Delta \rho}{ \rho} \approx \frac{ \Delta T}{T}$.
Таким образом,
$v^{2} = 2 \frac{ \rho_{0} - \rho }{ \rho} gH = 2 \frac{ \Delta T}{T} gH = \frac{2N Mg H}{T \rho v SC_{p} }$,
или
$v^{3} = \frac{2NMgH}{T \rho SC_{p} } = \frac{2NgHR}{pSC_{p} } = \frac{4}{7} \frac{NgH}{pS} \approx \frac{4}{7} \frac{NgH}{p_{0}S }$.
Окончательно получаем
$v \approx \sqrt[3]{ \frac{4NgH}{7p{0}S } } \approx 1 м /с$.