2020-01-08
На торце цилиндрического соленоида лежит тонкий лист картона, на нем - маленькое сверхпроводящее кольцо из тонкой проволоки, диаметр которой $d_{1}$ существенно меньше диаметра кольца $D$. При подключении соленоида к источнику последовательно с конденсатором (см. рисунок) кольцо подпрыгивает при $U > U_{0}$. Каким должно быть напряжение источника в аналогичном опыте с кольцом такого же диаметра, но сделанным из проволоки толщиной $d_{2}$? Индуктивность такого кольца с достаточной для практики точностью можно оценивать по формуле $L = kD ln \frac{1,4D}{d}$. Сопротивление соленоида считать малым.
Решение:
Пренебрегая активным сопротивлением соленоида, запишем закон Ома для замкнутой цепи соленоида:
$U - L_{c} \frac{ \Delta I_{c} }{ \Delta t} = \frac{q}{C}$,
где $L_{c}$ - индуктивность соленоида, $I_{c}$ - ток через соленоид, $q$ - заряд на конденсаторе. Используя выражение $I_{c} = \frac{ \Delta q}{ \Delta t}$, получим уравнение
$\frac{d^{2}q}{dt^{2} } + \frac{q}{L_{c}C } = \frac{U}{L_{c} }$.
Введем обозначения: $\frac{1}{ L_{c}C} = \omega_{0}^{2}, q - UC = q^{*}$. Тогда уравнение, описывающее зависимость заряда $q^{*}$ от времени, будет иметь вид
$\frac{d^{2} q^{*} }{dt^{2} } + \omega_{0}^{2} q^{*} = 0$.
Это уравнение описывает гармонические колебания заряда $q^{*}$, который с точностью до константы $UC$ равен заряду на конденсаторе. Решение этого уравнения ищем в виде
$q^{*}(t) = A \sin \omega_{0}t + B \cos \omega_{0}t$,
где $A$ и $B$ - константы, которые определяются из начальных условий. В момент замыкания ключа цепи соленоида
$q^{*}(0) = q(0)- UC = - UC$,
$\frac{ \Delta q^{*} }{ \Delta t} = \frac{ \Delta q}{ \Delta t} = 0$,
откуда находим
$A = 0, B = - UC$.
Следовательно,
$q^{*}(t)= - UC \cos \omega_{0}t, q(t) = UC(1 - \cos \omega_{0}t )$.
В дальнейшем нас будет интересовать ток соленоида:
$I_{c}(t) = \frac{ \Delta q(t) }{ \Delta t} = UC \omega_{0} \sin \omega_{0}t$.
Запишем теперь закон Ома для сверхпроводящего кольца:
$- \frac{ \Delta \Phi}{ \Delta t} - L_{к} \frac{ \Delta I_{к} }{ \Delta t} = 0$,
где $\Phi$ - внешний поток вектора магнитной индукции, пронизывающий кольцо, $I_{к}$ - ток в кольце, a $L_{к}$ - индуктивность кольца. Решение этого уравнения имеет вид
$\Phi + L_{к}I_{к} = const$,
но в начальный момент времени эта константа равна нулю, поэтому
$I_{к} = - \frac{ \Phi}{L_{к} }$.
Поток $\Phi$ пропорционален индукции соленоида, которая, в свою очередь, пропорциональна $I_{с}$ и площади кольца:
$\Phi \sim I_{c}D^{2} \sim UD^{2}$.
С учетом этого соотношения получим
$I_{к} \sim \frac{D^{2}U }{L_{к} }$.
Максимальная сила Ампера $F$, действующая в вертикальном направлении на кольцо, пропорциональна длине кольца, току в кольце и току в соленоиде:
$F \sim DI_{к}I_{с} \sim \frac{D^{3}U^{2} }{L_{к} }$.
Кольцо будет подпрыгивать, если сила $F$ будет больше силы тяжести кольца, пропорциональной $Dd^{2}$. В предельном случае
$\frac{D^{3}U^{2}}{L_{к} } \sim Dd^{2} \rightarrow U \sim \frac{ \sqrt{L_{к} }d }{D}$.
Для первого случая
$U_{0} \sim \sqrt{ ln \frac{1,4D}{d_{1} } }d_{1}$,
для второго -
$U_{0}^{ \prime} \sim \sqrt{ ln \frac{1,4D}{d_{2} } }d_{2}$,
Следовательно,
$U_{0}^{ \prime} = U_{0} \sqrt{ \frac{ ln \frac{1,4D}{d_{2} } }{ ln \frac{1,4D}{d_{1} } } } \frac{d_{2} }{d_{1} }$.
Напряжение на источнике должно быть больше $U_{0}^{ \prime}$.