2020-01-08
В большой комнате зимой поддерживается постоянная температура $T_{к} = + 15^{ \circ} С$ при помощи трех радиаторов центрального отопления, соединенных последовательно, по которым прокачивается горячая вода. При этом температура первого радиатора $T_{1} = + 75^{ \circ} С$, а последнего (третьего) - $T_{3} = + 30^{ \circ} С$. Чему равна температура второго радиатора? Считайте, что теплообмен - как между радиатором и комнатой, так и между горячей водой и радиатором - пропорционален соответствующей разности температур.
Решение:
Обозначим температуру воды на входе и выходе радиаторов так, как изображено на рисунке. Температура воды на входе каждого радиатора однозначно определяет температуру самого радиатора и температуру воды на его выходе. Условием равновесия является равенство потоков тепла "вода - радиатор" и "радиатор - комната".
Будем отсчитывать все температуры от комнатной, т. е. от $T_{к}$. Предположим, что мы изменили все температуры в $a$ раз. Тогда во столько же раз изменятся оба потока тепла для каждого радиатора, и равновесие не нарушится. Это означает, что для всех трех радиаторов одинаковы отношения температуры на входе к температуре радиатора:
$\frac{t_{1} - T_{к}}{T_{1} - T_{к} } = \frac{t_{2} - T_{к} }{T_{2} - T_{к} } = \frac{t_{3} - T_{к} }{T_{3} - T_{к} }$,
и температуры на входе к температуре на выходе:
$\frac{t_{1} - T_{к}}{t_{2} - T_{к} } = \frac{t_{2} - T_{к} }{t_{3} - T_{к} } = \frac{t_{3} - T_{к} }{t_{4} - T_{к} }$.
Отсюда получаем
$(T_{1} - T_{к})(T_{3}-T_{к}) = (T_{2} - T_{к} )^{2}$,
$T_{2} = 45^{ \circ} С$.