2020-01-08
Между двумя высокими гладкими кольцевыми стенками находится колесная пара (см. рисунок) - два тяжелых диска массой $M$ каждый, насаженных жестко на легкую ось длиной $L$( $L \approx R_{2} - R_{1}$). Прилагая к оси горизонтально направленную силу, мы заставляем колесную пару двигаться по кругу без перекосов (так, что ось все время направлена по радиусу). Какую минимальную работу нужно совершить, чтобы пройти весь круг? Коэффициент трения колес о землю $k$; колеса считать узкими.
Решение:
Ясно, что в заданной ситуации невозможно добиться того, чтобы оба колеса двигались без проскальзывания. Поэтому искомая работа равна работе сил трения, взятой со знаком минус.
При медленном движении колесной пары мощность силы трения для каждого колеса равна $- F_{тр} | v_{н} | = - kMg | v - \omega r |$, где $v_{к}$ - скорость нижней точки колеса относительно земли, $r$ - радиус колеса, $v$ - скорость центра колеса, $\omega$ - угловая скорость вращения колеса вокруг своей оси. Мощность сил трения, действующих на оба колеса, равна $- kMg(| v_{1} - \omega r| + |v_{2} - \omega r|)$, где $v_{1}$ и $v_{2}$ - скорости центров первого и второго колес. При фиксированных $v_{1}$ и $v_{2}$ величина в скобках минимальна при $v_{1} \leq \omega r \leq v_{2}$, что соответствует случаю, когда колеса проскальзывают в противоположных направлениях. В этом случае суммарная мощность сил трения -
$F_{тр} = - kMg (v_{2} - v_{1} )$,
а работа сил трения при прохождении полного круга -
$A_{тр} = - kMg \cdot 2 \pi (R_{2} - R_{1})$.
Отсюда искомая работа -
$A = - A_{тр} = kMg \cdot 2 \pi (R_{2} - R_{1}) = 2 \pi kMgL$.