2020-01-08
Сани длиной $l = 2 м$ и высотой $H = 0,5 м$ едут по прямой со скоростью $v = 10 м/с$. На расстоянии $d = 10 м$ от дороги установлен штатив с фотоаппаратом, и съемку производят в момент максимального сближения. Фотоаппарат имеет однолинзовый объектив с фокусным расстоянием $F = 5 см$. Выдержка (т. е. время, в течение которого засвечивается каждый участок фотопленки) отрабатывается в этом фотоаппарате при помощи щелевого затвора, который работает следующим образом. Вдоль кадра вблизи от фотопленки движется с постоянной скоростью $v_{0} = 1 м/с$ вертикальная щель, ширину которой можно менять в широких пределах для получения нужной выдержки (рис.). Размер кадра $24 \times 36$ мм. Каким окажется отношение длины к высоте у полученного на пленке достаточно резкого изображения саней?
Решение:
Обозначим длину мгновенного изображения саней на фотопленке через $l$, а высоту через $h$. Тогда, учитывая, что $d \ll F$, получим
$l = \frac{F}{d} L, h = \frac{F}{d} H$.
Однако во время экспозиции изображение движется по пленке со скоростью $u = \frac{F}{d} v$, что приводит к изменению длины реально получаемого изображения. Найдем ее.
Щель затвора "пробегает" движущееся изображение за время $t = \frac{l}{v_{0} \pm u }$ (считаем, что ширина щели $b$ много меньше $l$). Знак "-" соответствует случаю, когда скорости $\vec{v}_{0}$ и $\vec{u}$, направлены в одну сторону, знак "+", когда скорости направлены в противоположные стороны (рис.). Длина полученного на пленке изображения саней будет равна
$x = v_{0}t = \frac{v_{0}l }{v_{0} \pm u } = \frac{ \frac{LF}{d}}{1 \pm \frac{Fv}{dv_{0} } }$.
Итак, искомое отношение длины к высоте полученного на пленке изображения саней окажется равным
$\alpha = \frac{x}{h} = \frac{L}{H} \frac{1}{1 \pm \frac{Fv}{dv_{0} } } \approx \begin{cases} 3,81 \: при \: одинаковых \: направлениях \: скоростей \: \vec{v}_{0} \: и \vec{v}; \\ 4,21 \: при \: противоположных \: направлениях \: \vec{v}_{0} \: и \: \vec{v}, \end{cases}$