2020-01-08
При какой величине емкости конденсатора $C_{x}$ в схеме приведенной на рисунке, сдвиг фаз между подаваемым напряжением и током во внешней цепи будет равен нулю при любой частоте источника? Индуктивность катушки $L$, сопротивление каждого резистора $R$. Все элементы цепи считать идеальными.
Решение:
Эту задачу можно решать различными способами, но наиболее простой и понятный - это метод векторных диаграмм.
Основная идея этого метода состоит в том, что переменные напряжения и токи изображаются в виде векторов соответствующих длин и складываются по правилам векторной алгебры. В резисторе ток совпадает по фазе с напряжением, и $U_{R} =I_{R}R$, где $U_{R}$ - модуль вектора напряжения на резисторе, $I_{R}$ - модуль вектора тока в резисторе, $R$ - сопротивление резистора. Напряжение на катушке индуктивности опережает ток на $90^{ \circ}$, и $U_{L} = I_{L} \omega L$, где $U_{L}$ - модуль вектора напряжения на катушке индуктивности, $I_{L}$ - модуль вектора тока, $L$ - индуктивность катушки, $\omega$ - частота переменного тока. Напряжение на конденсаторе отстает от тока на $90^{ \circ}$, и $U_{C} = I_{C} \frac{1}{ \omega C}$, где $U_{C}$ - модуль вектора напряжения на конденсаторе, $I_{C}$ - модуль вектора тока через конденсатор, $C$ - емкость конденсатора.
А теперь вернемся к нашей задаче. Пусть во внешней цепи протекает ток $I_{0}$. Тогда для контура, содержащего катушку индуктивности и резистор, векторная диаграмма будет иметь вид, показанный на рисунке, при этом
$\vec{I}_{0} = \vec{I}_{LR} + \vec{I}_{l}, U_{LR} = I_{LR}R$ и $I_{LR}R = I_{L} \omega L$.
Для контура, содержащего конденсатор и резистор, векторная диаграмма будет аналогичной (рис.):
$\vec{I}_{0} = \vec{I}_{C} + \vec{I}_{CR}, U_{C} = I_{CR}R$ и $I_{CR}R = I_{C} \frac{1}{ \omega C}$.
Для того чтобы вектор $\vec{U}_{0}$ совпадал по фазе с вектором $I_{0}$, необходимо, чтобы углы между векторами $\vec{I}_{0}$ и $\vec{I}_{LR}$, а также между $\vec{I}_{0}$ и $\vec{I}_{C}$ были равны (рис.). Тогда
$\frac{I_{L} }{I_{LR} } = \frac{I_{CR} }{I_{C} }$,
откуда следует, что
$\frac{ \omega L}{R} = \omega CR$, или $C = \frac{L}{R^{2} }$.
Очевидно, если выбрать $C = \frac{L}{R^{2}}$, то ток будет совпадать по фазе с напряжением при любой частоте, и можно легко показать, что при этом $U_{0} = I_{0}R$.