2020-01-08
Однородно заряженный куб создает в своей вершине электрическое поле напряженностью $E_{0}$. Из куба удаляют кубик вдвое меньших размеров (см. рисунок). Чему теперь будет равна напряженность поля в точке А?
Решение:
Найдем, как за висит напряженность поля, созданного однородно заряженным кубом в своей вершине, от линейных размеров куба. Из соображений симметрии ясно, что эта напряженность направлена вдоль соответствующей большой диагонали куба. Поэтому можем записать
$E = \sum_{i} \frac{ \rho \Delta V_{i} }{r_{i}^{2} } \cos \alpha_{i}$.
где $\rho$ - плотность заряда, $\Delta V_{i}$ - малые объемы, на которые мысленно разбивается весь куб, $r_{i}$ - расстояние от $i$-ro объема до рассматриваемой вершины куба, $\alpha_{i}$ - угол между направлением из объема на вершину и большой диагональю куба.
Для куба с ребром $l$
$\Delta V_{i} \sim l^{3}, r_{i}^{2} \sim l^{2}$,
а $\alpha_{i}$ для всех кубов одинаковы; следовательно,
$E \sim \frac{l^{3} }{l^{2} } = l$
- напряженность поля в вершине куба прямо пропорционально его линейным размерам.
Очевидно, что куб вдвое меньших линейных размеров создает напряженность тоже вдвое меньшую. Поэтому если вначале напряженность в точке А была равна $E_{0}$, то после удаления малого кубика напряженность станет вдвое меньшей:
$E_{A} = E_{0} - \frac{E_{0} }{2} = \frac{E_{0} }{2}$.
Направление напряженности при этом не изменится.