2020-01-08
На невесомом коромысле длиной $2L$, которое может вращаться без трения вокруг вертикальной оси, закреплены заряды $+ Q$ а $-Q$ массой $M$ каждый. Под коромыслом на продолжении оси вращения расположен маленький диполь - заряды $+ q$ и $-q$ на расстоянии $2a$ друг от друга ($a \ll L$). В начальный момент коромысло находится в состоянии устойчивого равновесия (рис.).
а) Диполь приводят во вращение с угловой скоростью $\omega$. При каких $\omega$ коромысло будет "сопровождать" вращение диполе?
б) Диполь неподвижен. Найти период малых колебаний коромысла.
Решение:
а) Перейдем в неинерциальную систему отсчета, связанную с диполем. В этой системе коромысло в начальный момент вращается с угловой скоростью $\omega$. "Сопровождать" диполь оно будет в том случае, если его энергии недостаточно, чтобы сделать полный оборот. Другими словами, если его начальная энергия меньше энергии в самом невыгодном положении:
$2 \frac{M(L \omega)^{2} }{2} + 2 \left ( - \frac{Qq}{ 4 \pi \epsilon_{0} (L - a) } + \frac{Qq}{4 \pi \epsilon_{0}(L + a) } \right ) < 2 \left ( - \frac{Qq}{4 \pi \epsilon_{0} ( L + a) } + \frac{qQ}{4 \pi \epsilon_{0} (L - a) } \right )$.
В результате получаем
$\frac{M(L \omega)^{2} }{2} < 2 \frac{Qq}{4 \pi \epsilon_{0} } \left ( \frac{1}{L - a} - \frac{1}{L + a} \right ) = 2 \frac{Qq}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{2a}{L^{2} - a^{2} } \approx \frac{Qqa}{ \pi \epsilon_{0}L^{2} }$,
откуда
$\omega < \frac{1}{L} \sqrt{ \frac{2Qqa}{ \pi \epsilon_{0}M } }$.
б) Рассмотрим отклонение коромысла от положения равновесия на малый угол $\alpha$ (рис.). На каждый заряд коромысла действуют силы со стороны каждого заряда диполя. Поскольку $L \ll a$, можно считать, что модули всех сил одинаковы и равны $F = \frac{Qq}{4 \pi \epsilon_{0} L^{2}}$, а их плечи равны $\alpha a$. Запишем уравнение движения коромысла (аналогичное уравнению второго закона Ньютона для поступательного движения тела):
$2ML^{2} \alpha^{ \prime \prime} = - 4 \frac{Qq}{4 \pi \epsilon_{0} L^{2} } a \alpha$,
или
$\alpha^{ \prime \prime} = - \frac{Qqa}{2 \pi \epsilon_{0} ML^{2} } \alpha$.
Это - уравнение гармонических колебаний с периодом
$T = 2 \pi L \sqrt{ \frac{2 \pi \epsilon_{0}M }{Qqa} }$.