2020-01-08
НЛО пролетает над Землей с постоянной очень большой скоростью $\vec{v}$. Какую скорость зафиксируют наземные приборы станции слежения в тот момент, когда направление на объект будет составлять угол $\phi$ с вертикалью (рис.)?
Решение:
Пусть от момента пролета НЛО ближайшей к наблюдателю точки А (рис.) до данного момента (до точки В) прошло время $t$, причем это время отсчитывалось по неподвижным часам, находящимся в точке В. Обозначим высоту пролета НЛО над Землей через $l$. Тогда путь, пройденный объектом от А до В, равен
$vt = l tg \phi$. (1)
Наблюдатель же увидит светящийся объект в точке В несколько позже (из-за конечности скорости распространения света $c$), и его часы покажут время
$t_{1} = t + \frac{ \frac{l}{ \cos \phi} }{c}$. (2)
Очевидно, что скорость НЛО, измеряемая наблюдателем, равна
$v_{1} = \frac{dx}{dt_{1} } = \frac{dx}{dt } \frac{dt}{dt_{1} } = \frac{v}{ \frac{dt_{1} }{dt} }$.
Из равенства (2)
$\frac{dt_{1}}{dt} = 1 + \frac{l \sin \phi}{c \cos^{2} \phi } \frac{d \phi}{dt}$,
а из равенства (1)
$\frac{d \phi}{dt} = \frac{v \cos^{2} \phi }{l}$,
поэтому окончательно искомая скорость равна
$v_{1} = \frac{v}{1 + \frac{v}{c} \sin \phi }$.