2014-05-31
На гладком горизонтальном столе лежит гантелька, состоящая из двух маленьких шариков 1 и 2 с массами $m_{1}$ и $m_{2}$ ($m_{1} > m_{2}$), объединенных жестким стержнем длиной $l$ (масса стержня пренебрежимо мала). На шарик 2 налетает третий шарик с массой $m_{3}=m_{1}-m_{2}$ скорость которого $v$ направлена перпендикулярно стержню, и слипается с ним. Опишите дальнейшее движение гантельки.
Решение:
После слипания шариков с массами $m_{2}$ и $m_{3}$ на обоих концах гантельки будут сосредоточены одинаковые массы $m_{1}$, (так как $m_{2}+m_{3} = m_{1}$). Отсюда ясно, что центр масс получившейся системы будет находиться в геометрическом центре стержня.
По закону сохранения импульса центр масс образовавшейся после удара системы с массой $ m_{1}+m_{2}+m_{3} = 2m_{1}$ будет обладать импульсом $2m_{1} \bar{u}$, равным импульсу $2m_{3} \bar{v}$, который имел до удара третий шарик:
$2m_{1} \bar{u} = m_{3} \bar{v}$, $2m_{1} \bar{u} = (m_{1}-m_{2}) \bar{v}$.
Здесь $\bar{u}$ - скорость центра масс системы после удара, равная
$u= \frac{1}{2} \left ( 1- \frac{m_{2}}{m_{1}} \right ) v$. (1)
До соударения шариков 2 и 3 шарик 3 обладал моментом импульса относительно геометрического центра гантельки
$L=m_{3}v \frac{l}{2} = (m_{1}-m_{2})v \frac{l}{2} $, (2)
моменты импульсов шариков 1 и 2 были равны нулю. В силу закона сохранения момента импульса гантелька после удара будет вращаться вокруг своего центра масс. Обозначая линейную и угловую скорости вращения масс $m_{1}$, сосредоточенных на концах гантельки, в системе покоя центра масс через $v^{\prime}$ и $\omega$, для суммарного момента импульса после удара мы должны написать
$L^{\prime} = 2m_{1}v^{\prime} \frac{l}{2}=2 m_{1} \omega \left ( \frac{l}{2} \right )^{2}$ . (3)
В силу закона сохранения момента импульса $L^{\prime} = L$. Приравнивая
правые части (2) и (3), находим
$\omega = \left ( 1-\frac{m_{2}}{m_{1}} \right ) \frac{v}{l}$
Итак, после удара гантелька вращается около своего центра масс угловой скоростью $\omega$, определяемой формулой (4), а сам центр масс движется поступательно со скоростью $u$, определяемой формулой (1), в том же направлении, что и шарик 3 до удара.