2019-12-05
На неподвижном круглом цилиндре радиуса $R$ лежит доски, как показано на рисунке. Толщина доски равна $h$. При каком соотношении между $h$ и $R$ равновесие
доски будет устойчивым? Трение между доской и цилиндром велико.
Решение:
Чтобы выяснить, каким является равновесие доски, надо повернуть ее относительно цилиндра на небольшой угол $\alpha$ и посмотреть, что будет дальше.
Так как трение между доской и цилиндром велико, то при повороте доски она не скользит по цилиндру, но высота ее центра тяжести изменяется. При этом положение равновесия доски будет устойчивым, если при повороте центр тяжести доски поднимется. Поэтому для того чтобы решить задачу, нужно найти положение центра тяжести доски в горизонтальном положении, затем найти положение центра тяжести доски, повернутой на малый угол $\alpha$, и записать условие, что в этом новом положении центр тяжести доски находится выше, чем в прежнем.
Будем все высоты отсчитывать от горизонтальной плоскости, проходящей через середину цилиндра.
Когда доска горизонтальна, ее центр тяжести - точка С - находится на высоте (см. рис. б)
$H_{1} = OC = R + \frac{h}{2}$,
а в новом положении - на высоте
$H_{2} = C^{ \prime}M$.
Свяжем высоту $H_{2}$ с $R, h$ и $\alpha$, для чего сделаем некоторые дополнительные пост роения. Опустим из точки $C^{ \prime}$ перпендикуляр на сторону доски, опирающуюся на цилиндр, то есть на основание доски, до пересечения с этой стороной в точке $B^{ \prime}$. Затем из точки О проведем радиус в точку касании $A$ и продолжим его до прямой, проходящей через точку $C^{ \prime}$ и параллельной основанию доски; получим точку $D$. Теперь из точки $D$ опустим перпендикуляр $DF$ на горизонтальную плоскость и перпендикуляр $DE$ на прямую $C^{ \prime}M$.
Высота
$H_{2} = C^{ \prime}M = C^{ \prime}E + EM$.
Из треугольника $FDO$ найдем отрезок $DF$, который равен отрезку $EM$:
$DF = EM = OD \cos \alpha = \left ( R + \frac{h}{2} \right ) \cos \alpha$.
Из треугольника $C^{ \prime}DE$ найдем $C^{ prime}E$:
$C^{ \prime}E = DC^{ \prime} \sin \alpha$,
где $DC^{ \prime} = AB^{ \prime}$. Очевидно, что отрезок $AB^{ \prime}$ можно считать равным длине дуги $AB = R \alpha$. Поэтому
$C^{ \prime}E = R \alpha \sin \alpha$.
Таким образом,
$H_{2} = C^{ \prime}M = C^{ \prime}E + EM = R \alpha \sin \alpha + \left ( R + \frac{h}{2} \right ) \cos \alpha$.
Равновесие доски устойчивое, если $H_{2} > H_{1}$, то есть если
$R \alpha \sin \alpha + \left ( R + \frac{h}{2} \right ) \cos \alpha > R + \frac{h}{2}$,
или
$R \alpha \sin \alpha - \left ( R + \frac{h}{2} \right ) (1 - \cos \alpha) > 0$.
Заменяя $1 - \cos \alpha$ на $2 \sin^{2} \frac{ \alpha}{2}$, получим
$R \alpha \sin \alpha - 2 \left ( R + \frac{h}{2} \right ) \sin^{2} \frac{ \alpha}{2} > 0$.
Так кзк угол $\alpha$ мал, то
$\sin \alpha \approx \alpha$ и $\sin \frac{ \alpha}{2} \approx \frac{ \alpha}{2}$.
Поэтому последнее неравенство можно переписать так:
$R \alpha^{2} - 2 \left ( R + \frac{h}{2} \right ) \frac{ \alpha^{2} }{4} > 0$.
откуда
$h < 2R$.
Итак, положение равновесии доски будет устойчивым, если ее толщина меньше диаметра цилиндра.