2019-12-05
Экран освещается параллельным пучком лучей, перпендикулярным плоскости экрана. Как изменится освещенность экрина, если на пути света поставить призму АВС с малым углом раствора $\alpha$ и показателем преломления $n$, причем грань АВ параллельна экрану (рис. а)? Отражением света от призмы пренебречь.
Решение:
Световые лучи, попавшие на призму, преломляются на ее грани ВС и попадают на участок экрана DF (рис. б). При этом на участок CD световые лучи совсем не попадают, поэтому его освещенность равна нулю, а участок EF освещается как прямыми лучами, так и лучами, прошедшими через призму.
Найдем сначала освещенность участка DF. куда попадают только преломленные призмой лучи. Если освещенность призмы и экрана прямыми лучами обозначить $E_{0}$, то через призму проходит световой поток $\Phi = E_{0} \cdot AB \cdot d$ ($AB \cdot d$ - площадь грани АВ). Попадай на участок экрана DF, этот световой поток распределяется по нему равномерно (так как лучи и после призмы идут параллельным пучком) и создает освещенность
$E = \frac{ \Phi}{DF \cdot d} = E_{0} \frac{AB}{DF}$
($DF \cdot d$ - площадь соответствующего участка экрана).
Из рисунка б $DF = NC = MC - MN$. Но $MC = AB$, а $MN = BM tg \gamma = AB tg \alpha tg \gamma$. Поэтому $DF = AB - AB tg \alpha tg \gamma = AB(1 - tg \alpha tg \gamma)$ и
$\frac{AB}{DF} = \frac{1}{1 - tg \alpha tg \gamma}$.
Углы $\alpha$ и $\gamma$ не независимы: $\gamma = \beta - \alpha$ где $\beta$ - угол преломления лучен. Из закона преломления света $\sin \beta = n \sin \alpha$, то есть $\beta = arcsin (n \sin \alpha)$. Так как угол $\alpha$ мал, а величина $n$ обычно порядка 1, то можно считать, что $\beta = arcsin (n \alpha) = n \alpha$. Тогда
$\gamma = n \alpha - \alpha = \alpha(n - 1)$.
Следовательно,
$\frac{AB}{DF} = \frac{1}{1 - tg \alpha tg \gamma} = \frac{1}{1 - \alpha \gamma} = \frac{1}{1 - (n - 1) \alpha^{2} }$
и
$E = E_{0} \frac{AB}{DF} = E_{0} \frac{1}{1 - (n - 1) \alpha^{2} }$.
Таким образом, на участке DE освещенность увеличилась в
$\frac{E }{E_{0} } = \frac{1}{1 - (n -1) \alpha^{2} }$ раз,
а на участке $EF$ в
$\frac{E_{0} + E }{E_{0} } = 1 + \frac{1}{1 - (n - 1) \alpha^{2} }$ раз.