2019-12-05
В вертикальном цилиндре имеется $n$ молей идеального одноатомного газа. Цилиндр закрыт сверху поршнем массы $M$ и площади $S$. Вначале поршень удерживался неподвижным, газ в цилиндре занимает объем $V_{0}$ и имел температуру $T_{0}$. Затем поршень освободили, и после нескольких колебаний он пришел в состояние покоя. Пренебрегая в расчетах, всеми силами трения, а также теплоемкостью поршня и цилиндра, найти температуру и объем газа при новом положении поршня
Вся система теплоизолирована. Атмосферное давление равно $p_{a}$.
Решение:
В начальный, момент (сразу после того, как поршень освободили) на поршень действуют три силы, сила тяжести и сила атмосфеpного давления, направленные вниз, и сила давления газа и цилиндре, направленная вверх. Если равнодействующая всех сил направлена вниз, то поршень начнет двигаться вниз, если же равнодействующая направлена вверх, поршень будет подниматься вверх.
Для определенности будем считать, что поршень смещается вниз. Запишем уравнение состояния газа в цилиндре при равновесном положении nopшня:
$pV = nRT$.
Из условия равновесия поршня
$p= p_{a} + \frac{Mg}{S}$.
Поэтому
$\left ( p_{a} + \frac{Mg}{S} \right ) = nRT$. (1)
Мы получили уравнение, связывающее $V$ и $T$. Однако для того чтобы найти $V$ и $T$. необходимо иметь еще одно уравнение. Его можно получить, воспользовавшись законом сохранения энергии. Так как сосуд теплоизолирован, а силы трения и теплоемкость поршня и цилиндра пренебрежимо малы, то работа, совершенная над газом, равна изменению его внутренней энергии:
$A = \Delta U$.
Как известно, внутренняя энергия одного моля идеального одноатомного газа равна
$U = \frac{3}{2} RT$,
где $R$ - универсальная газовая постоянная. Внутренняя энергия $n$ молей равна $\frac{3}{2}nRT$, а изменение внутренней энергии газа при изменении его температуры от $T_{0}$ до $T$ равно
$\Delta U = \frac{3}{2} nR (T - T_{0} )$.
Теперь найдем работу по сжатию газа. Эта работа совершается силой атмосферного давления и силой тяжести. Поэтому она равна
$A = (p_{a}S + Mg ) h$.
где $h = \frac{V_{0} - V }{S}$ - расстояние, на которое сместился поршень. Таким образом.
$\frac{3}{2} nR(T - T_{0} ) = \left ( p_{a} + \frac{Mg}{S} \right ) (V_{0} - V )$. (2)
Заметим, что если поршень движется вверх, газ сам совершает работу против атмосферного давления и веса поршня, при этом его внутренняя энергия уменьшается. Равенство (2) остается справедливым и в этом случае.
Решая совместно уравнения (1) и (2), найдем
$T = \frac{3}{5} T_{0} + \frac{2}{5} \frac{ \left ( p_{a} + \frac{Mg}{S} \right ) V_{)} }{nR}$,
$V = \frac{2}{5} V_{0} + \frac{3}{5} \frac{nRT_{0} }{p_{a} + \frac{Mg}{S} }$.