2019-12-05
Электронно-лучевая трубка с ускоряющим напряжением $U$ помещена в однородное магнитное поле с индукцией $B$, направленной вдоль оси трубки. На экране при этом наблюдается небольшое расплывчатое пятно. Если менять величину индукции, то можно заметить, что при некоторых значениях $B_{0}, 2B_{0}, 3B_{0}, \cdots$ электронное пятно фокусируется - собирается в точку. Объясните это явление. Как с помощью такого эксперимента определить отношение заряда электрона к его массе?
Решение:
Электроны вылетают из электронной пушки трубки с небольшим угловым разбросом скоростей и попадают в магнитное поле. При этом в направлении оси электроны имеют одинаковые составляющие скоростей, которые согласно закону сохранения энергии равны
$v_{1} = \sqrt{ \frac{2eU}{m} }$,
и различные составляющие, перпендикулярные оси, немного меньшие, чем $v_{1}$.
На составляющие скоростей, параллельные оси трубки, магнитное поле никак не влияет, поэтому движение вдоль оси является равномерным и прямолинейным. Наличие же перпендикулярных оси составляющих приводит к искривлению траектории движения электронов. Действительно, на электрон, влетающий в магнитное поле перпендикулярно его силовым линиям, действует сила Лоренца
$F = evB$,
где $e$ - заряд электрона, $v$ - его скорость, в данном случае равная перпендикулярной составляющей скорости электрона. Эта сила сообщает электрону центростремительное ускорение
$a_{ц} = \frac{v^{2} }{R}$,
где $R$ - радиус окружности, по которой будет двигаться электрон. Согласно второму закону Ньютона
$m \frac{v^[2 }{R} = evB$,
$R = \frac{mv}{eB}$,
и период вращения электрона по окружности
$T = \frac{2 \pi R}{v} = \frac{2 \pi m}{eB}$.
Мы получили очень важный результат, какими бы ни были составляющие скоростей электронов, перпендикулярные оси трубки, все электроны совершают одни оборот за одно и то же время. Если би составляющие скоростей электронов, параллельные оси трубки, были все равны нулю, то траекториями электронов были бы окружности разных радиусов, проходящие через одну точку - точку вылета электронов из пушки (рис). Причем в эту точку все электроны приходили бы одновременно.
Так как электроны участвуют еще в равномерном прямолинейном движении вдоль оси трубки, то результирующими траекториями их движений будут винтовые линии. Причем эти линии будут пересекаться на каждом шаге винта (рис.), так как составляющие скоростей, параллельные оси, одинаковы для всех электронов. В точках пересечения траекторий и фокусируется электронный пучок.
Итак, электронное пятно на экране будет собираться в точку, если расстояние $L$ от электронной пушки до экрана будет кратно шагу винтовой линии $h = v_{1}T$, то есть $L = nv_{1}T = \frac{n}{B} 2 \pi \sqrt{ \frac{2mU}{e} }$.
Причем, при $B = B_{0}$ $n = 1$, при $B = 2B_{0}$ $n = 2$ и т. д.
С помощью такою эксперимента можно определить отношение заряда электрона к его массе. Действительно, из последней формулы
$\frac{e}{m} = \frac{8 \pi^{2}U }{L^{2}B_{0}^{2} }$.
Измерив $U, L$ и $B_{0}$, найдем отношение $\frac{e}{m}$.