2019-12-05
Максимально допустимая скорость движения автомобиля по скользкой дороге при прохождении поворота радиуса $R$ равна $V_{max}$. На повороте дорога наклонена под углом $\alpha$ к горизонту. Какова минимальная скорость, с которой должен двигаться автомобиль, чтобы проехать поворот?
Решение:
Рассмотрим силы, действующие на автомобиль в первом случае (рис. а). Это сила тяжести $mg$, сила нормальной реакции со стороны дороги $N$ и сила трения $F_{тр} = - kN$ ($k$ - коэффициент трения колес о дорогу). Поскольку автомобиль движется с максимально допустимой скоростью, сила трения препятствует "заносу" автомобиля (движению вверх по дороге) и направлена вниз по наклонной плоскости дороги.
Во втором случае сила трения $F_{тр}^{ \prime} = kN^{ \prime}$ ($N^{ \prime}$ - сила реакции дороги в этом случае) препятствует скольжению автомобиля под действием силы тяжести винт по плоскости дороги и потому направлена вверх (рис. б).
Запишем уравнения движения автомобиля для первого и второго случаев. Для этого спроектируем все силы на вертикальную и горизонтальную оси.
Так как автомобиль в вертикальном направлении не перемещается, то при движении с $v = v_{max}$
$N \cos \alpha - mg - F_{тр} \sin \alpha = 0$,
или
$N( \cos \alpha - k \sin \alpha) - mg = 0$, (1)
а при движении с $v = v_{min}$
$N^{ \prime} \cos \alpha - mg + F_{тр}^{ \prime} \sin \alpha = 0$,
или
$N^{ \prime} ( \cos \alpha + k \sin \alpha) - mg = 0$, (2)
В горизонтальной плоскости аьтомо-биль движется по окружности радиуса $R$ с центростремительным ускорением, равным $\frac{v^{2} }{R}$. Согласно второму закону Ньютона
при движении с $v = v_{max}$
$N \sin \alpha + F_{тр} \cos \alpha = \frac{mv_{max}^{2} }{R}$,
или
$N( \sin \alpha + k \cos \alpha ) = \frac{mv_{max}^{2} }{R}$, (3)
а при движении c $v = v_{min}$
$N^{ \prime} \sin \alpha - F_{тр}^{ \prime} \cos \alpha = \frac{mv_{min}^{2} }{R}$
или
$N^{ \prime} ( \sin \alpha - k \cos \alpha) = \frac{mv_{min}^{2} }{R}$. (4)
Из уравнения (2) найдем $N^{ \prime}$, подставим в уравнение (4) и получим
$\frac{mv_{min}^{2}}{R} = mg \frac{ \sin \alpha - k \cos \alpha }{ \cos \alpha + k \sin \alpha}$.
Отсюда
$v_{min} = \sqrt{Rg \frac{tg \alpha - k}{1 + k tg \alpha} }$. (5)
Для того чтобы найти $k$, воспользуемся уравнениями (1) и (3). Из уравнения (1) выразим $N$, подставим в уравнение (3) и получим
$\frac{ \sin \alpha + k \cos \alpha}{ \cos \alpha - k \sin \alpha} = \frac{v_{max}^{2} }{Rg}$
и
$k = \frac{v_{max}^{2} - Rg tg \alpha }{v_{max}^{2} tg \alpha + Rg }$.
Тогда
$v_{min} = \sqrt{Rg \frac{v_{max}^{2}(tg^{2} \alpha - 1 ) + 2Rg tg \alpha }{Rg (1 - tg^{2} \alpha ) + 2v_{max}^{2} tg \alpha } }$.