2014-05-31
Обруч массой $m$ катится по горизонтальной плоскости со скоростью $v$. Перед ним покоится горка массой $M$ и высотой $H$. Обруч не проскальзывает; горка может скользить по плоскости без трения. При какой минимальной скорости $v_{0}$ обруч переедет через горку?
Решение:
Предположим, что $v < v_{0}$. В этом случае обруч, переехав через горку, поднимется на некоторую высоту $h < H$. В этот момент он неподвижен относительно горки, а сама горка скользит по плоскости с некоторой скоростью $u$. Из законов сохранения
импульca и энергии следует, что
$mv=(m+M)u$, (1)
$E=\frac{(m+M)u^{2}}{2}+mgh$. (2)
Здесь $E=mv^{2}$ - кинетическая энергия катящегося обруча (она складывается из кинетической энергии $mv^{2}/2$ поступательного движения и кинетической энергии $mv^{2}/2$ вращательного движения).
Исключая из равенств (1) и (2) скорость $u$, находим
$h=\frac{v^{2}}{g} \frac{2M+m}{2(M+m)}$.
C увеличением $v$ величина $h$ растет. Когда $v$ достигает значения $v_{0}$, величина $h$ достигает значения $H$ Заменяя в полученном равенстве $v$ на $v_{0}$
и $h$ на $H$, получаем
$v_{0}=\sqrt{ \frac{2gH(M+m)}{2M+m}}$.