2019-11-09
В одинаковых сообщающихся сосудах, показанных на рис., находится вода. Кран К закрыли и воду в правом сосуде нагрели, вследствие чего ее уровень немного повысился. Будет ли вода переливаться из правого сосуда в левый, если открыть кран?
Решение:
Вода будет переливаться из левого сосуда в правый.
Рассмотрим давление у дна правого сосуда. До нагревания оно было равно
$p = \rho gh$,
а после нагревания стало равным
$p^{ \prime} = \rho^{ \prime} gh^{ \prime}$,
где $\rho$ и $h$ - плотность и высота холодной воды, а $\rho^{ \prime}$ и $h^{ \prime}$ - горячей. Значит,
$\frac{p^{ \prime} }{p} = \frac{ \rho^{ \prime} }{ \rho} \frac{h^{ \prime} }{h}$.
Но так как масса воды не меняется, то
$\frac{ \rho^{ \prime} }{ \rho} = \frac{V}{V^{ \prime} }$,
где $V$ - объем воды до нагревания, а $V^{ \prime}$ - после. Поэтому
$\frac{p^{ \prime} }{p} = \frac{V}{V^{ \prime} } \frac{h^{ \prime} }{h}$.
Далее,
$V = \frac{1}{3} h(s + S + \sqrt{Ss} ), V^{ \prime} = \frac{1}{3} (s + S^{ \prime} + \sqrt{sS^{ \prime} } )$,
где $s$ - площадь два, а $S$ и $S^{ \prime}$ - площади свободной поверхности воды до нагревания и после нагревания. Из трех последних равенств получаем
$\frac{p^{ \prime} }{p} = \frac{s + S + \sqrt{sS} }{s + S^{ \prime} + \sqrt{sS^{ \prime} } }$.
Но так как $S < S^{ \prime}$, то $p^{ \prime} < p$, т. е. нагревание воды приводит к уменьшению давления. Отсюда следует, что вода будет переливаться из левого сосуда в правый.