2019-11-09
Пусть космической ракете сообщена вертикальная скорость 11,2 км/с. Как известно, такая ракета будет неограниченно удаляться от Земли, а ее скорость будет неограниченно уменьшаться (если не учитывать влияния других небесных тел). Таким образом, ее предельная скорость, или, иначе говоря, скорость в бесконечности, будет равна нулю. Пусть теперь ракете сообщена вертикальная скорость 12,2 км/с. Какова будет ее скорость в бесконечности? Будет ли она равна 12,2 - 11,2 = 1км/с?
Решение:
$v_{ \infty} = 4,84 км/с$. Пусть начальная скорость ракеты равна $v_{0}$, а ее скорость в бесконечности равна $v_{ \infty}$. Тогда
$\frac{mv_{0}^{2}}{2} - \frac{mv_{ \infty}^{2} }{2} = U_{ \infty}$, (1)
где $U_{ \infty}$ - потенциальная энергия ракеты в бесконечности. Последнюю легко найти следующим путем. Положим в равенстве (1) $v_{0} = v_{*}$, где $v_{*}$ - вторая космическая скорость. Так как в этом случае $v_{ \infty}$ обращается в нуль, то получим
$\frac{mv_{*}^{2} }{2} = U_{ \infty}$. (2)
Таково значение энергии $U_{ \infty}$. Подставив теперь (2) в (1), будем иметь
$\frac{mv_{0}^{2} }{2} - \frac{mv_{ \infty}^{2} }{2} = \frac{mv_{*}^{2} }{2}$,
откуда
$v_{ \infty} = \sqrt{ v_{0}^{2} - v_{*}^{2}}$.
Полученная формула позволяет вычислить $v_{ \infty}$, если известно $v_{0}$. Подставив в нее $v_{0} = 12,2 км/с$, найдем
$v_{ \infty} = \sqrt{12,2^{2} - 11,2^{2}} = 4,84 км/с$.