2014-05-31
Маленький шарик массой $m$ подвешен на тонком резиновом жгуте, длина которого в нерастянутом состоянии равна $l$. Масса жгута пренебрежимо мала. Если шарик поднять до точки подвеса и отпустить, то при $m = 100 г$ и $l = 5 м$ жгут не рвется, а при $m = 110 г$ и $l = 5 м$ - рвется. Порвется ли жгут при $m = 100 г$ и $l = 6 м$?
Решение:
Рассмотрим систему из шарика и резинового жгу га в двух состояниях - когда шарик занимает самое верхнее и самое нижнее положения. В этих положениях скорость шарика равна нулю. Предположим, что жгут еще не рвется. Пусть длина растянутого жгута равна $l^{\prime}$. При переходе из первого состояния во второго потенциальная энергия шарика в поле силы тяжести уменьшается на величину $U = mgl^{\prime}$, которая переходит в потенциальную энергию деформированного жгута. На единицу его длины приходится энергия
$E=U/l^{\prime}=mg$. (1)
Очевидно, что максимальная сила натяжения жгута определяется только энергией, приходящейся на единицу длины максимально растянутого жгута. Эта энергия, как видно из формулы (1), не зависит от первоначальной длины жгута $l$ и определяется только массой $m$ привязанного шарика. Отсюда ясно, что, если жгут не рвется при
$m = 100 г$ и $l = 5 м$, то он не рвется и при $m = 100 г$ $l = 6 м$.