2019-10-11
Чтобы уменьшить колебания напряжения, снимаемого с выпрямительного устройства, используется так называемый «сглаживающий» фильтр. В простейшей форме он состоит из сопротивления ($r = 10^{3} ом$), соединенного с конденсатором ($C = 10 мкф$) так, как показано на рисунке. Найдите напряжение на выходе конденсатора, если входное напряжение имеет постоянную компоненту $V_{0}$ и переменную компоненту с циклической частотой $120 сек^{-1}$ и амплитудой $V_{2}$.
Решение:
Согласно условию задачи,
$V_{вх}(t) = V_{0} + V_{2} \cos \omega t$,
где $\omega = 120 сек^{-1}$. Дифференциальное уравнение, описывающее напряжение на конденсаторе, т. е. $V_{вых} (t)$, имеет вид
$CR \frac{dV_{вых}}{dt} +V_{вых}(t) = V_{вх}(t) = V_{0} + V_{2} \cos \omega t$.
Решение соответствующего однородного уравнения легко найти. Оно имеет вид
$V_{вых} (t) = Ae^{ - \frac{t}{RC} }$.
Эта часть решения существенна лишь в начальные моменты времени работы выпрямительного устройства. Она за времена, большие чем $RC$, экспоненциально быстро обратится в нуль, и ее можно в дальнейшем игнорировать.
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде
$V_{вых}^{(1)} (t) = V_{0} + B \cos \omega t + D \sin \omega t$.
Подставляя $V_{вых}^{(1)}$ в исходное дифференциальное уравнение и по отдельности приравнивая коэффициенты при $\cos \omega t$ и $\sin \omega t$ в правой и левой частях уравнения, находим
$V_{вых}^{(1)} = \frac{V_{2} }{1 + C^{2}R^{2} \omega^{2} } [ \cos \omega t + \omega CR \sin \omega t] + V_{0}$.
Из этого выражения видно, что постоянная составляющая напряжения остается той же, но амплитуда переменной составляющей равна
$V_{2}^{ \prime} = \frac{V_{2} }{ \sqrt{ 1 + \omega^{2}R^{2}C^{2} } }$.
Подставляя в это выражение $R = 10^{3} ом, C = 10 мкф, \omega = 2 \pi \cdot 120 сек^{-1}$, находим $V_{2}^{ \prime} = V_{2}/7,6$, т. е. амплитуда переменной составляющей уменьшается в 7,6 раза.