2019-10-11
Найдено, что тело массы 5,0 кг колеблется с затуханием, которым можно пренебречь. Подвешенное на пружине тело совершает 10 полных колебаний за 10,0 сек, затем приводится в действие маленький магнитный замедлитель движения и появляется затухание, пропорциональное скорости движения. В результате амплитуда колебаний уменьшается за 10 полных циклов от 0,2 до 0,1 м.
а) Составьте уравнение движения тела, причем коэффициенты перед членами $d^{2}x/dt^{2}, dx/dt$ и $x$ выразите в численном виде, воспользовавшись системой единиц MKS.
б) Чему равен новый период колебаний тела?
в) За сколько колебаний (начиная с цикла с амплитудой 0,2 м) амплитуда уменьшается до 0,05 м? До 0,02 м?
г) Чему равна максимальная скорость диссипации энергии в течение первого колебания?
Решение:
а) Уравнение движения тела до включения замедлителя в буквенных обозначениях имеет вид
$\frac{d^{2}x }{dt} + \omega_{0}^{2}x = 0$,
где
$\omega_{0} = \frac{2 \pi}{T_{0} } = 2 \pi сек^{-1}$.
После включения замедлителя уравнение движения имеет другой вид:
$\frac{d^{2}x}{dt^{2} } + \omega_{0}^{2}x + \gamma \frac{dx}{dt} = 0$.
Bp общего решения уравнения, амплитуда колебаний тела уменьшается со временем по закону $e^{- \frac{ \gamma t}{2} }$, причем новый период колебания равен
$T = \frac{2 \pi}{ \sqrt{ \omega_{0}^{2} - \frac{ \gamma^{2} }{4} } }$.
За 10 полных циклов, т. е. за время
$t_{0} = \frac{2 \pi}{ \sqrt{ \omega_{0}^{2} - \frac{ \gamma^{2} }{4} } }$,
по условию задачи амплитуда колебания уменьшается В два раза, т. е. справедливо соотношение $1/2 = e^{ - \frac{ \gamma t_{0} }{2} }$. Отсюда находим
$\gamma = \sqrt{ \frac{4 \pi^{2}}{ \frac{1}{4} + \left ( \frac{10 \pi}{ln 2} \right )^{2} }} \approx \frac{ln 2}{5} сек^{-1} \ll \omega_{0}$.
Следовательно, в системе единиц МКС
$5 \frac{d^{2}x }{dt^{2} } + 0,693 \frac{dx}{dt} + 20 \pi^{2} x = 0$.
б) Так как $\gamma \ll \omega_{0}$, то
$T = \frac{2 \pi}{ \sqrt{ \omega_{0}^{2} - \frac{ \gamma^{2} }{4} } } \approx \frac{2 \pi}{ \omega_{0} \left ( 1 - \frac{ \gamma^{2} }{8 \omega_{0}^{2} } \right ) } \approx T_{0} \left ( 1 + \frac{ \gamma^{2}T_{0}^{2} }{32 \pi^{2} } \right ) = 1,006 сек$.
в) Если амплитуда уменьшается в 4 раза, то $e^{ - \frac{ \gamma t_{1} }{2} } = \frac{1}{4}$, т. е. $t_{1} \approx \frac{4 ln 2}{ \gamma} \approx 20 сек$. Так как период колебания равен $T \approx T_{0} = 1 сек$, то уменьшение амплитуды колебания в 4 раза произойдет за 20 полных колебаний, а в 10 раз примерно за 33 или 34 полных колебания.
г) Скорость диссипации энергии, т. е. теряемая из-за сопротивления мощность, равна
$P = \gamma m \left ( \frac{dx}{dt} \right )^{2}$.
Решение урвнения движения имеет вид
$x(t) = e^{ - \frac{ \gamma}{2} (t - t_{0} ) } \left [ A \cos ( t - t_{0} ) \sqrt{ \omega_{0}^{2} - \frac{ \gamma^{2} }{4} } + B \sin(t - t_{0} ) \sqrt{ \omega_{0}^[2 - \frac{ \gamma^{2} }{4} } \right ] \approx e^{ - \frac{ \gamma }{2} (t - t_{0} ) } [A \cos \omega_{0}(t - t_{0} ) +B \sin \omega_{0} (t - t_{0} ) ]$.
Здесь мы учли, что $\gamma \ll \omega_{0}$. Нисколько не уменьшая общности вывода, предположим, что в момент включения Затухания, т. е. при $t = t_{0}$ тело двигалось таким образом, что $A = 0$ (ведь начальное состояние тела в условии задачи не фиксировано!). Отсюда
$P = \gamma m \omega_{0}^{2} e^{ - \gamma (t - t_{0} ) } B^{2} \cos^{2} \omega_{0}(t - t_{0} )$.
Из этого выражения видно, что скорость диссипации энергии была максимальна при $t = t_{0}$. В этот момент времени она была равна $\gamma m \omega_{0}^{2}B^{2}$. Согласно условию задачи, $B = 0,2 м, \gamma = 0,693, m = 5, \omega_{0}^{2} =4 \pi^{2}$. Отсюда находим $P = 1,1 вт$.