2019-10-11
Конденсатор емкостью $C$ и катушка с индуктивностью $L$ соединены так, как показано на рисунке. Конденсатор первоначально заряжен до напряжения $V_{0}$, а ключ S разомкнут. В момент времени $t=0$ он замыкается.
а) Найдите напряжение на конденсаторе в зависимости от времени.
б) Рассчитайте зависимость от времени величин $CV^{2}/2$ и $LI^{2}/2$. Каков, по-вашему, физический смысл этих величин?
Решение:
Для мгновенного значения заряда на обкладках конденсатора можно написать следующей дифференциальное уравнение:
$L \frac{d^{2}q }{dt^{2} } + \frac{q}{C} = 0$.
Обозначим $\omega^{2} = \frac{1}{LC}$. Тогда написанное выше уравнение приобретает вид уравнения гармонического колебания: $\ddot{q} + \omega^{2}q = 0$. Общее решение этого уравнения имеет вид
$q (t) = A \cos \omega t + B \sin \omega t$.
Начальное условие состоит в том, что $V_{0} = q(0)/C$ при $t = 0$ и ток в начальный момент времени равен нулю, т. е. $dq/dt = 0$. Определяя ИЗ этих условий константы А и В, находим
$q(t) = V_{0}C \cos \omega t$
а) Так как в каждый момент времени напряжение на конденсаторе равно $V(t) = q(t)/C$, то
$V(t)= V_{0} \cos \omega t, \omega = \frac{1}{ \sqrt{LC} }$.
б) Используя этот результат, находим, что запасенная в конденсаторе электростатическая энергия, равная $CV^{2}/2$, и энергия магнитного поля в катушке $LI^{2}/2$ изменяются со временем по закону
$\frac{1}{2} CV_{0}^{2} \cos^{2} \omega t$ и $\frac{1}{2} CV_{0}^{2} \sin^{2} \omega t$.
Сумма названных выше энергий, как нетрудно видеть, равна энергии $\frac{1}{2} CV_{0}^{2}$ первоначально запасенной в конденсаторе.