2019-10-11
Тело на воздушной подушке содержит в себе магнит. Этот магнит при движении тела генерирует круговые токи, магнитные поля которых действуют на магнит, в результате чего появляется замедляющая сила, пропорциональная скорости. Найдите (в зависимости от коэффициента торможения $\gamma$):
а) конечную скорость, достигаемую телом;
б) скорость тела в зависимости от времени;
в) его положение в зависимости от времени, если оно начинает двигаться из состояния покоя.
Решение:
Уравнение движения тела вдоль оси х можно записать в виде
$m \frac{d^{2} x}{dt^{2} } + m \gamma \frac{dx}{dt} = F_{0}$,
или
$\frac{dv}{dt} + \gamma v = \frac{F_{0} }{m}$.
а) В установившемся движении скорость тела будет постоянна, т. е. $dv/dt = 0$. Отсюда
$v_{стац} = \frac{F_{0} }{m \gamma}$.
б) Попытаемся найти решение неоднородного уравнения
$\frac{dv}{dt} + \gamma v = \frac{F_{0} }{m}$
в виде суммы решения однородного уравнения $\dot{v} + \gamma v = 0$ и любого решения неоднородного уравнения. В качестве последнего можно выбрать
$v_{стац} = \frac{F_{0} }{ m \gamma} = const$.
Так как общее решение однородного уравнения имеет вид $v = Ae^{ - \gamma t}$, где $A$ - произвольная константа, то
$v(t) = \frac{F_{0} }{n \gamma } + Ae^{ - \gamma t }$.
Непосредственной проверкой мы убеждаемся, что получили самое общее решение исходного уравнения,
в) Если тело в начальный момент времени $t = 0$ покоилось, то $v(0)=0, x(0) = 0$. Используя первое из этих условий, находим
$v(t) = \frac{F_{0} }{m \gamma} (1 - e^{ - \gamma t} )$.
Интегрируя это уравнение, находим
$x(t) = \frac{F_{0} }{m \gamma}t + \frac{F_{0} }{m \gamma^{2} } e^{ - \gamma t} +B$,
Учитывая, что $x(0) = 0$, находим
$B = - \frac{F_{0} }{ m \gamma^{2} }$.
Следовательно,
$x(t) = \frac{F_{0} }{m \gamma} \left [ t - \frac{1}{ \gamma} (1 - e^{ - \gamma t} ) \right ]$.