2019-10-11
Пластины конденсатора емкости $C$, первоначально заряженного до напряжения $V_{0}$, в момент времени $t=0$ соединяются через сопротивление $R$. Составьте дифференциальное уравнение для $V$ как функции $t$. Решите это уравнение, предполагая, что существует экспоненциальное решение.
Решение:
Для заряда $q(t)$ на обкладках конденсатора можно написать следующее дифференциальное уравнение:
$R \frac{dq}{dt} + \frac{q}{C} = 0$.
Так как напряжение на конденсаторе связано с зарядом соотношением $\frac{q(t)}{C} = V(t)$, то можно написать
$CRV + \frac{dV}{dt} = 0$.
Решение этого уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию $V(0) = V_{0}$, имеет вид
$V(t) = V_{0} e^{- \frac{t}{CR}}$.