2019-10-11
Тело на воздушной подушке при движении теряет свою скорость главным образом из-за вязкости в тонком воздушном слое под ним, причем сила торможения пропорциональна скорости. Составьте и решите дифференциальное уравнение плоского движения тела. Как его скорость изменяется:
а) со временем?
б) с расстоянием?
Решение:
Если направить ось х вдоль направления движения тела, то уравнение движения запишется в виде
$m \frac{d^{2}x }{dt^{2} } + m \gamma \frac{dx}{dt} = 0$.
Если искать решение этого уравнения в виде $x = Ae^{ \alpha t}$, то легко найти, что $\alpha_{1} = 0, \alpha_{2} = - \gamma$. Следовательно, общее решение этого уравнения можно представить так:
$x(t) = A + Be^{ - \gamma t}$.
Если начальные условия выбрать в форме
$x(0)= 0, \left . \frac{dx}{dt} \right |_{t = 0} = v_{0}$,
то находим
$x(t) = \frac{v_{0} }{ \gamma} (1 - e^{ - \gamma t} )$,
$v(t) = \frac{dx}{dt} = v_{0}e^{ - \gamma t}$.
Так как
$x = \frac{v_{0} }{ \gamma} (1 - e^{ - \gamma t} )$, то $e^{ - \gamma t} = 1 - \frac{\gamma x}{v_{0} }$.
Следовательно,
$v(x) = v_{0} - \gamma x$.