2019-10-11
На входе цепей А и В (см. рисунок) находится источник с напряжением $V_{вх} = V_{0} \cos \omega t$. Положим, что ток, протекающий через клеммы на выходе цепей, пренебрежимо мал.
а) Найдите соотношение, которое должно существовать между $R, C, R^{ \prime}$ и $L$, чтобы выходные напряжения обеих цепей $V_{A}(t)$ и $V_{B}(t)$ были равны.
б) Найдите постоянные токи $I_{A}(t)$ и $I_{B}(t)$.
Решение:
а) Введем комплексную э.д.с. $\bar{V}_{вх} = V_{0}e^{i \omega t}$, так что $V_{вх} = Re \bar{V}_{вx}$. Так как полный импеданс цепи А равен $\bar{Z} = R + \frac{1}{ i \omega C}$, а полный импеданс цепи В равен $i \omega L + R^{ \prime}$, то
$\bar{I}_{A}(t) = \frac{ \bar{V}_{вх} }{R + \frac{1}{i \omega C} }, \bar{I}_{B}(t) = \frac{ \bar{V}_{вх} }{R^{ \prime} + i \omega L }$.
Очевидно, что
$\bar{V}_{A}(t) = \bar{I}_{A}(t) \frac{1}{i \omega C} = \frac{ \bar{V}_{вх}(t) }{1 + i \omega CR }$,
$\bar{V}_{B}(t) = \bar{I}_{B}(t)R^{ \prime} = \frac{ \bar{V}_{вх}(t) }{1 + \frac{i \omega L}{R^{ \prime} } }$.
Если $\bar{V}_{A}(t) = \bar{V}_{B}(t)$, то $i \omega CR + 1 = i \omega \frac{L}{R} + 1$.
Отсюда следует, что должно выполняться соотношение
$CRR^{ \prime} = L$.
б) Определяя вещественную часть найденных выражений для $\bar{I}_{A}$ и $\bar{I}_{B}$, находим
$I_{A}(t) = \frac{V_{0} \cos ( \omega t + \phi_{A} ) }{ \sqrt{R^{2} + \frac{1}{ \omega^{2} C^{2} } } }, I_{B}(t) = \frac{V_{0} \cos ( \omega t - \phi_{B} ) }{ \sqrt{R^{ \prime 2} + \omega^{2}L^{2} } }$,
где
$\phi_{A} = arctg \frac{1}{ \omega CR}, \phi_{B} = arctg \frac{ \omega L}{R^{ \prime} }$.