2019-10-07
Часто требуется, чтобы в электрической цепи имелось синусоидальное напряжение постоянной амплитуды, но переменной фазы. Электрическая схема, с помощью которой можно осуществить это требование, называется цепью с фазовым сдвигом. Один из примеров такой цепи показан на рисунке. Докажите, что амплитуда напряжения между точками А и В составляет половину амплитуды входного напряжения, а фаза может меняться в пределах от 0 до $180^{ \circ}$ при изменении $R^{ \prime}$.
Решение:
Обозначим через $\bar{I}_{1}$ и $\bar{I}_{2}$ - комплексные токи, протекающие через точки А и В. Тогда, очевидно,
$\bar{I}_{1}2R = \bar{I}_{2} \left ( R^{ \prime} + \frac{1}{ i \omega C} \right ) = \bar{V}$.
Определив токи, найдем
$\bar{V}_{A} = \bar{I}_{1} R = \frac{ \bar{V} }{2}, \bar{V}_{B} = \bar{I}_{2} R^{ \prime} = \frac{ \bar{V}R^{ \prime} }{R^{ \prime} + \frac{1}{i \omega C} }$.
Далее,
$\bar{V}_{AB} = \bar{V}_{A} - \bar{V}_{B} = \frac{ \bar{V} }{2} - \frac{ \bar{V}R^{ \prime} }{R^{ \prime} + \frac{1}{i \omega C} } = - \frac{ \bar{V} }{2} \frac{R^{ \prime} + \frac{i}{ \omega C} }{R^{ \prime} - \frac{i}{ \omega C} } $.
Так как можно представить
$R^{ \prime} \pm \frac{i}{ \omega C} = e^{ \pm i \phi} \sqrt{ R^{ \prime 2} + \frac{1}{ \omega^{2} C^{2} } }$,
где $\phi = arctg \frac{1}{ \omega CR^{ \prime}}$, то
$\frac{R^{ \prime} + \frac{i}{ \omega C}}{R^{ \prime} - \frac{i}{ \omega C} } = e^{ 2 i \phi}$.
Таким образом, найденное выражение для разности потенциалов $\bar{V}_{AB}$ можно представить в виде произведения модуля комплексного числа, равного $V/2$, на фазовый множитель. Фаза разности потенциалов $\bar{V}_{AB}$ при этом равна
$2 arctg \frac{1}{ \omega CR^{ \prime} } + \pi$.
Так как при изменении $x$ от 0 до $\phi$ функция $arctg x$ меняется в пределах от 0 до $\pi /2$, то, меняя $R^{ \prime}$ (в пределах от О до $\infty$), можно менять фазу $\bar{V}_{AB}$ от $\pi$ до 0.