2019-10-07
а) Покажите, что дифференциальное уравнение, описывающее движение прикрепленного к пружине с упругой постоянной $k$ тела массы $m$, на которое действует сила трения - $m \gamma v$, имеет вид
$\frac{d^{2}x }{dt^{2} } + \gamma \frac{dx}{dt} + \omega_{0}^{2}x = 0$, где $\omega_{0}^{2} = \frac{k}{m}$.
б) Найдите решение этого уравнения (используйте комплексную форму записи!), предполагая, что оно имеет вид $x = e^{ \alpha t}$, а затем покажите, что общее решение дается выражением
$x = e^{ \frac{1}{2} \gamma t } \left [ A \cos \left ( \sqrt{ \omega_{0}^{2} - \frac{ \gamma^{2} }{4} } t \right ) + B \sin \left ( \sqrt{ \omega_{0}^{2} - \frac{ \gamma^{2} }{4} } t \right ) \right ]$,
если $\gamma < 2 \omega_{0}$.
в) Как изменится вид найденного решения, если $\gamma > 2 \omega_{0}$?
Решение:
а) Упругая сила, действующая на тело массой $m$, равна $- kx$, а сила трения $- m \gamma v= - m \gamma (dx/dt)$. Так как ускорение тела равно $d^{2}x/dt^{2}$, то уравнение движения имеет вид
$m \frac{d^{2}x }{dt^{2} } = - kx - m \gamma \frac{dx}{dt}$.
Поделим обе части этого уравнения на массу т и перенесем все члены уравнения в левую часть, затем, используя обозначение $\omega^{2} = k/m$, получим искомое уравнение,
б) Будем искать решение сформулированного уравнения в экспоненциальном виде $x = e^{ \alpha t}$. Выполняя необходимые дифференцирования и сокращая уравнение на $e^{ \alpha t}$, находим квадратное уравнение для определения $\alpha$:
$\alpha^{2} + \gamma \alpha + \omega_{0}^{2} = 0$.
Два корня этого уравнения равны
$\alpha_{1,2} = - \frac{ \gamma }{2} \pm \sqrt{ \frac{ \gamma^{2} }{4} - \omega_{0}^{2} } = \pm i \sqrt{ \omega_{0}^{2} - \frac{ \gamma^{2} }{4} } - \frac{ \gamma}{2}$.
(Здесь учтено, что $\gamma < 2 \omega_{0}$.) С учетом найденного запишем общее решение уравнения движения:
$x = Re (C_{1} e^{ \alpha_{1}t } + D_{1}e^{ \alpha_{2}t } )$,
где $C_{1}$ и $D_{1}$ - комплексные постоянные интегрирования. Представляя эти постоянные в виде $C_{1} = Ce^{i \theta_{1} }$ и $D_{1} = D e^{i \theta_{2}}$, где $C$ и $D$ - вещественные числа, и определяя вещественную часть $x$, находим
$x(t) = e^{ - \gamma t / 2} \left [ C \cos \left ( \sqrt{ \omega_{0}^{2} - \frac{ \gamma^{2} }{4} t} + \theta_{1} \right ) +D \sin \left ( \sqrt{ \omega_{0}^{2} - \frac{ \gamma^{2} }{4} } t + \theta_{2} \right ) \right ]$.
Воспользовавшись формулой для косинуса суммы углов найдем, что решение можно представить в искомом виде, если вместо произвольных постоянных $C, D, \theta_{1}$ и $\theta_{2}$ ввести новые две вещественные постоянные $A$ и $B$, связанные с ними соотношениями
$A = C \cos \theta_{1} + D \cos \theta_{2}, B = - (C \sin \theta_{1} + D \sin \theta_{2} )$.
в) В этом случае $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$ - вещественны и общее решение уравнения движения имеет вид
$x(t) = e^{ - \gamma t / 2 } \left [ Ae^{-t \sqrt{ ( \gamma^{2}/4 ) - \omega_{0}^{2} } } + Be^{+t \sqrt{ ( \gamma^{2}/4 ) - \omega_{0}^{2} } } \right ]$.