2019-10-07
Найдите зависимость импеданса (полного сопротивления) $\bar{Z}$ от частоты $\omega$ для цепи, состоящей из индуктивности $L$ и емкости $C$, если они соединены:
а) последовательно,
б) параллельно.
Качественно обсудите полученные результаты.
Решение:
а) Рассмотрим цепь, изображенную на фиг. Введем комплексное напряжение $\bar{V} = V_{0} e^{i \omega t}$ и комплексный заряд $\bar{q} (t)$ на обкладках конденсатора. Тогда на основании решения к задаче 10814 напишем дифференциальное уравнение для определения стационарного тока
$\frac{q(t)}{C} + L \frac{dI}{dt} = V = \bar{V}_{0} e^{ i \omega t}$,
где $I = dq/dt$.
Продифференцируем обе части этого уравнения по времени. В результате получим уравнение для комплексного тока:
$\frac{I}{C} + L \frac{d^{2}I }{dt^{2} } = i \omega \bar{V}_{0} e^{i \omega t} = i \omega V$.
Будем искать решение этого уравнения в виде $I = \bar{I} e^{ i \omega t}$. Выполнив необходимое дифференцирование, мы найдем связь между $\bar{I}$ и $\bar{V}$
$\left ( \frac{1}{i \omega C} + i \omega L \right ) \bar{I} = \bar{V}$.
Отсюда следует, что импеданс цепи $\bar{Z} = \bar{V}/ \bar{I}$ в случае последовательного соединения равен
$Z = \frac{1}{i \omega C} + i \omega L$.
б) При параллельном соединении емкости и индуктивности электрическая цепь имеет вид, изображенный на фиг. В этом случае, очевидно, выполняется условие равенства потенциалов на индуктивности и емкости
$V = \frac{q}{C} = L \frac{d \bar{I}_{2} }{dt}$,
где $\bar{I}_{2}$ - комплексный ток через индуктивность. Суммар ный ток через цепь равен $I = I_{1} + I_{2}$, где $I_{1}$ - ток через емкость. Учитывая тот факт, что
$q = \frac{dI_{2} }{dt}$,
и полагая
$I_{1} = \bar{I}_{1} e^{ i \omega t}, I_{2} = \bar{I}_{2}e^{ i \omega t}$,
находим
$I_{1} = i \omega C \bar{V}, \bar{I}_{2} = \frac{ \bar{V} }{i \omega L}$
и, следовательно,
$\bar{I} = \bar{V} \left ( i \omega C + \frac{1}{i \omega L} \right )$
Отсюда
$\bar{Z} = \frac{ \bar{V} }{ \bar{I} } = \left ( i \omega C + \frac{1}{i \omega L} \right )^{-1}$
При последовательном соединении при $\omega \rightarrow \infty$ сопротивление цепи обусловлено индуктивностью, а при $\omega \rightarrow 0$ - емкостью. При частоте $\omega = \frac{1}{ \sqrt{LC} }$ имеет место «резонанс»: импеданс цепи обращается в нуль.
При параллельном соединении ситуация противоположна случаю (а): при $\omega \rightarrow \infty$ сопротивление носит в основном емкостный характер (ток течет через емкость), а при $\omega \rightarrow 0$ сопротивление цепи связано с наличием индуктивности.
При частоте $\omega = 1/ \sqrt{LC}$ наступает резонанс: импеданс цепи обращается в бесконечность.