2019-10-07
Составьте и решите дифференциальное уравнение, описывающее поведение тока, когда он протекает:
а) по индуктивности $L$,
б) по емкости $C$,
если к ним приложено синусоидальное напряжение частоты $\omega$. Найдите комплексный импеданс указанных выше цепей.
Решение:
Пусть приложено напряжение вида
$V(t) = V_{0} \cos \omega t$.
Введем комплексное напряжение $\bar{V} = V_{0}e^{i \omega t}$, так что $V(t) = Re \bar{V}$.
а) Соответствующее дифференциальное уравнение имеет вид
$L \frac{d \bar{I} }{dt} = V_{0} e^{ i \omega t}$.
Интегрируя, находим
$\bar{I} = \frac{V_{0} }{i \omega L} e^{ i \omega t} = \frac{ \bar{V} }{i \omega L} = \frac{ bar{V} }{ \bar{Z}_{L} }$.
Следовательно, комплексный импеданс цепи с индуктивностью равен
$\bar{Z}_{L} = i \omega L$.
б) В этом случае уравнение имеет простой вид
$\frac{ \bar{q}(t) }{C} = V_{0}e^{ i \omega t}$,
т. е.
$\bar{q}(t) = V_{0}Ce^{i \omega t}$
Отсюда
$\bar{I} = \frac{d \bar{q} }{dt} = i \omega C \bar{V} = \frac{ \bar{V} }{ \bar{Z}_{C} }$.
Следовательно, комплексный импеданс цепи с емкостью равен
$\bar{Z}_{C} = \frac{1}{i \omega C}$.