2019-10-07
Точка подвеса математического маятника, период собственных колебаний которого равен 1 сек, совершает синусоидальные колебания с амплитудой 1,00 см и периодом 1,10 сек. Какова амплитуда установившихся колебаний маятника?
Решение:
Поместим начало координат в положение равновесия, а оси координат направим, как показано на рисунке. Колебания точки подвеса будем характеризовать координатой $x$, а самого маятника-углом $\phi$. Как видно из рисунка, в произвольный момент времени
$x_{м} = x + l \sin \phi$,
$y_{м} = l \cos \phi$.
где $l$ - длина маятника.
Запишем уравнение движения маятника в системе координат, движущейся вместе с точкой подвеса. В этой системе на массу $m$ действует псевдосила $- m \ddot{x}$, поэтому $I ( d^{2} \phi /dt^{2} ) = - mgl \sin \phi - m \ddot{x} \cos \phi$.
Учитывая, что $I = ml^{2}$, получаем
$\ddot{ \phi} + \frac{g}{l} \sin \phi = - \frac{ \dot{ \phi} }{l} \cos \phi$.
Предположим, что $\phi$ мало, так что $\sin \phi \approx \phi, \cos \phi = 1$. В этом приближении (приближении малых колебаний) уравнение для $\phi$ имеет вид
$\ddot{ \phi} + \frac{g}{l} \phi = \frac{ \omega^{2} }{l} \sin \omega t$,
где учтено, что по условию задачи
$x = a \sin \omega t$ ( $\omega = \frac{2 \pi}{T}, a = 1$).
Удобно вернуться к переменной $x_{м}$, используя соотношения
$\frac{x_{м} - x}{l} = \sin \phi \approx \phi$
и
$\ddot{ \phi} = \frac{ \ddot{x}_{м} - \ddot{x} }{l}$.
Для этой переменной
$\ddot{x}_{м} + \omega_{0}^{2} x_{м} = \omega^{2} \sin \omega t$.
будем искать решение в виде $x_{м} = c \sin \omega t$ ($c$ - амплитуда колебаний).
Подставляя это выражение $x_{м}$ в уравнение колебаний, получаем
$- c \omega^{2} \sin \omega t + c \omega_{0}^{2} \sin \omega t = \omega^{2} \sin \omega t$,
откуда
$c = \frac{ \omega^{2} }{ \omega_{0}^{2} - \omega^{2} }$.
Учитывая, что $\omega = 2 \pi/T$, находим
$c = \frac{T_{0}^{2} }{T^{2} - T_{0}^{2} } = 5,76 см$.