2019-10-07
Гравитационная сила, действующая на частицу, которая помещена в твердый однородный шар, прямо пропорциональна расстоянию от центра шара. Если принять за такой шар Землю и просверлить сквозь нее вдоль ее диаметра, соединяющего полюса, отверстие, то сколько времени понадобится телу, попавшему в это отверстие, чтобы достигнуть поверхности с противоположной стороны Земли? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
Из условия задачи следует, что действующая на частицу сила прямо пропорциональна $r$ - расстоянию от центра Земли и направлена к центру, поэтому $m \ddot{r} + kr = 0$, где $k$ - коэффициент пропорциональности в зависимости силы от расстояния. Таким образом, частица совершает колебания вокруг центра Земли с периодом
$T = \frac{2 \pi}{ \omega}$,
где $\omega^{2} = k/m$.
Замечая, что на поверхности Земли сила притяжения равна весу тела, находим константу $k = mg/R$. Очевидно, сквозь Землю по диаметру тело пройдет за время $t = T/2$. Используя найденное значение $k$, получаем
$t = \pi \sqrt{ \frac{R}{g} } \approx 2500 сек \approx 42 мин$.